ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
ตั้งบิตให้เก็บ −114 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด
N = −1148 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0010 0000 AND 0010 1010 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ
0010 0000AND0010 1010
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
(q ↔ p) ∧ (q ↔ ¬p) เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ
(q ↔ p) ∧ (q ↔ ¬p)
- 1ซ้ำซ้อน (tautology)
- 2ขัดแย้ง (contradiction)
- 3contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
ประโยคใดสมมูลกับ ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น
¬∃x (A(x) ∧ B(x))
- 1∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
- 2∃x (A(x) → ¬B(x))
- 3∀x (A(x) → ¬B(x))
- 4∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15) มีลิเทอรัลรวมกี่ตัว L (ตัวแปรที่มีไพรม์นับเป็นหนึ่งลิเทอรัล)
F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15)
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
สำหรับ F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 8, 11, 14) + d(1, 5) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ จงหาจำนวน N ของไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น
F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 8, 11, 14) + d(1, 5)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด x ที่ x ≡ 5 (mod 10) และ x ≡ 7 (mod 13)
x ≡ 5 (mod 10)x ≡ 7 (mod 13)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
71 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 1932856 mod 71
p = 71k = 32856
1932856 mod 71 =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด
- AO(log n)
- BO(n)
- CO(n log n)
- DO(n²)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
n! และ 2ⁿ เปรียบเทียบกันอย่างไรเมื่อ n มาก
- Aเติบโตในอัตราเดียวกัน
- Bn! เป็น O(n²)
- C2ⁿ เติบโตเร็วกว่า n!
- Dn! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
รายการประชิดใช้หน่วยความจำเท่าใดสำหรับกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อม
- AO(V²)
- BO(E²)
- CO(V × E)
- DO(V + E)
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
คุณสมบัติใดทำให้ B-tree ทุกต้นสมดุลอย่างสมบูรณ์
- Aทุกโหนดมีลูกสองตัวพอดี
- Bคีย์ถูกเก็บเฉพาะที่ราก
- Cใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
- Dแต่ละโหนดเก็บหนึ่งคีย์
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ
|V| = 6|E| = 8
- 1วงจรออยเลอร์
- 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
- 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1
เริ่มต้น: Aรอบ 5
- 1A
- 2B
- 3C
- 4D
- 5E
- 6F
- 7G
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
คุณสมบัติ ACID ใดรับประกันว่าการเปลี่ยนแปลงที่ commit แล้วรอดจากระบบล่ม?
- AIsolation
- BAtomicity
- CDurability
- DConsistency
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
หลัง customers LEFT JOIN orders เหตุใดจึงใช้ COUNT(o.id) แทน COUNT(*) เพื่อนับคำสั่งซื้อต่อลูกค้า?
- ACOUNT(*) นับแถวที่เติม NULL เป็น 1 สำหรับลูกค้าที่ไม่มีคำสั่งซื้อ
- BCOUNT(*) ไม่อนุญาตหลังการเชื่อม
- CCOUNT(o.id) นับเฉพาะลูกค้าที่ไม่ซ้ำ
- DCOUNT(*) ละเว้นแถวที่มีค่า NULL
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
จุดประสงค์ของการแฮนด์เชก (handshake) สามทางของ TCP คืออะไร?
- Aเพื่อหาที่อยู่ IP ของโฮสต์ก่อนที่จะส่งข้อมูลไปถึงโฮสต์นั้นได้
- Bเพื่อเข้ารหัสข้อมูล
- Cเพื่อปิดการเชื่อมต่ออย่างรวดเร็ว
- Dเพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
แอปพลิเคชันเทอร์มินัลระยะไกลรู้สึกอืดเพราะแพ็กเก็ตการกดแป้นเล็ก ๆ ถูกกั้นไว้ กลไก TCP ใดมักเป็นสาเหตุ?
- ASlow start
- Bอัลกอริทึมของ Nagle (Nagle's algorithm)
- CFast retransmit
- Dการแฮนด์เชกสามทาง
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
ซับเน็ตหนึ่งใช้มาสก์ 255.255.255.240 มีที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้กี่ที่อยู่ H
255.255.255.240
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.163.35/18 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่บรอดแคสต์ของซับเน็ตมันคือเท่าใด
172.20.163.35/18
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: U = 142
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง
114 = 0111 0010
ที่กลับบิตแล้ว: 1000 1101
+1 → 1000 1110
อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย
1000 1110₂ = 256 − 114 = 142
คำตอบ
U = 142
2.ระบบเลข
คำตอบ: R = 32
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
ทีละบิต
AND ให้ 1 เฉพาะที่ทั้งสองบิตเป็น 1
0010 0000
AND 0010 1010
= 0010 0000
ค่าของผลลัพธ์
0010 0000₂ = 32
คำตอบ
R = 32
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ขัดแย้ง (contradiction)
ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1: q ↔ p = 1, ¬p = 0, q ↔ ¬p = 0, (q ↔ p) ∧ (q ↔ ¬p) = 0
p = 1, q = 0: q ↔ p = 0, ¬p = 0, q ↔ ¬p = 1, (q ↔ p) ∧ (q ↔ ¬p) = 0
p = 0, q = 1: q ↔ p = 0, ¬p = 1, q ↔ ¬p = 1, (q ↔ p) ∧ (q ↔ ¬p) = 0
p = 0, q = 0: q ↔ p = 1, ¬p = 1, q ↔ ¬p = 0, (q ↔ p) ∧ (q ↔ ¬p) = 0
จัดประเภท
(q ↔ p) ∧ (q ↔ ¬p): 0, 0, 0, 0
เป็น 0 ทุกแถว: contradiction
คำตอบ
ขัดแย้ง (contradiction)
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ∀x (A(x) → ¬B(x))
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ย้ายนิเสธเข้าด้านใน
¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀x (A(x) → ¬B(x))
คำตอบ
∀x (A(x) → ¬B(x))
ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 5
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
จัดกลุ่ม 1
ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม
C
B′D
AD
รูป SOP ที่น้อยที่สุด
F = C + B′D + AD
L = 5
คำตอบ
L = 5
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 5
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
ไพรม์อิมพลิแคนต์
กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X
B′CD, A′B′D, A′B′C, A′BC′, AB′C′D′, ABCD′
ไพรม์อิมพลิแคนต์จำเป็น
B′CD, A′B′C, A′BC′, AB′C′D′, ABCD′
N = 5
คำตอบ
N = 5
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 85
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ความสอดคล้องข้อแรก
x = 5 + 10k
ความสอดคล้องข้อที่สอง
5 + 10k ≡ 7 (mod 13) → 10k ≡ 2 (mod 13)
k ≡ 4·2 ≡ 8 (mod 13)
ผลลัพธ์
x = 5 + 10·8 = 85
x = 85
ตรวจสอบ: 85 mod 10 = 5, 85 mod 13 = 7
คำตอบ
x = 85
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: 1932856 mod 71 = 60
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
ลดเลขชี้กำลัง
32856 mod 70 = 26
1932856 ≡ 1926 (mod 71)
เลขยกกำลังขนาดเล็ก
1926 mod 71 = 60
คำตอบ
1932856 mod 71 = 60
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: B · O(n)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
โดยทฤษฎีบทหลัก nlog₂ 2 = n ครอบงำงานคงที่ จึงได้ T(n) = Θ(n) เช่น การหาค่ามากสุดโดยแบ่งครึ่งเรื่อย ๆ
คำตอบ
B · O(n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: D · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
สำหรับ n ≥ 4 ค่า n! เกิน 2ⁿ และอัตราส่วนเติบโตไม่มีขอบเขต เพราะตัวคูณเพิ่มเติมแต่ละตัวของ n! ใหญ่กว่า 2
คำตอบ
D · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: D · O(V + E)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
แต่ละจุดยอดมีรายการ และแต่ละเส้นเชื่อมปรากฏหนึ่งครั้ง (มีทิศทาง) หรือสองครั้ง (ไม่มีทิศทาง) ได้ O(V + E)
คำตอบ
D · O(V + E)
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: C · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
โหนดแยกขึ้นด้านบนเมื่อเต็ม และต้นไม้สูงขึ้นเฉพาะเมื่อรากแยก ใบทั้งหมดจึงอยู่ที่ระดับเดียวกันเสมอ
คำตอบ
C · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
ดีกรี
deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2
จุดยอดคี่
B, D → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
คำตอบ
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: E
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
1. A (0): B: 7
2. B (7): C: 19, G: 12
3. G (12): E: 23
4. C (19)
5. E (23): D: 34, F: 35
6. D (34)
7. F (35)
รอบ 5
E
คำตอบ
E
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: C · Durability
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
Durability หมายความว่าเมื่อทรานแซกชัน commit แล้ว ผลของมันจะถูกเก็บรักษาไว้ โดยปกติด้วยการเขียนล็อกลงที่เก็บข้อมูลที่เสถียร
คำตอบ
C · Durability
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: A · COUNT(*) นับแถวที่เติม NULL เป็น 1 สำหรับลูกค้าที่ไม่มีคำสั่งซื้อ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
left join ให้หนึ่งแถวที่คอลัมน์คำสั่งซื้อเป็น NULL สำหรับลูกค้ากลุ่มนี้ COUNT(o.id) ข้าม NULL และรายงาน 0 ได้ถูกต้อง
คำตอบ
A · COUNT(*) นับแถวที่เติม NULL เป็น 1 สำหรับลูกค้าที่ไม่มีคำสั่งซื้อ
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: D · เพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การแฮนด์เชกสร้างการเชื่อมต่อและตกลงหมายเลขลำดับเริ่มต้นของทั้งสองฝ่ายก่อนส่งข้อมูล
คำตอบ
D · เพื่อสร้างการเชื่อมต่อและซิงโครไนซ์หมายเลขลำดับ
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: B · อัลกอริทึมของ Nagle (Nagle's algorithm)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
อัลกอริทึมของ Nagle รอรวมเซกเมนต์ขนาดเล็กขณะที่ข้อมูลก่อนหน้ายังไม่ได้รับการตอบรับ ช่วยประหยัดแบนด์วิดท์แต่เพิ่มความล่าช้าให้ทราฟฟิกแบบโต้ตอบ
คำตอบ
B · อัลกอริทึมของ Nagle (Nagle's algorithm)
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: H = 14
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ความยาวพรีฟิกซ์
255.255.255.240 = /28
โฮสต์ที่ใช้ได้
24 − 2 = 14
คำตอบ
H = 14
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 191
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม
26 = 64
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: 172.20.128.0
บรอดคาสต์: 172.20.191.255
คำตอบ
x = 191
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals