พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
two's complement 8 บิต?−128?64?32?16?8?4?2?1

เขียน −47 เป็นรูปแบบ two's complement 8 บิต อ่านรูปแบบนั้นเป็นเลขฐานสองแบบไม่มีเครื่องหมาย ค่าของมัน U ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

N = −478 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
รหัส 1023 ตัว, b = ? บิต?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

ระบบต้องให้รหัสฐานสองความยาวเท่ากันแก่สิ่งของ 1023 ชิ้น ชิ้นละหนึ่งรหัส ต้องใช้อย่างน้อยกี่บิต b

1023
b = bit
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
r ∧ ¬¬p¬r ∧ ¬¬p¬r → ¬¬p¬r ∧ ¬p

คุณต้องการพิสูจน์ r → ¬p ด้วยข้อขัดแย้ง ควรสมมติประโยคใดตอนเริ่มต้น ให้คลิกประโยคนั้น

r → ¬p
  1. 1r ∧ ¬¬p
  2. 2¬r ∧ ¬¬p
  3. 3¬r → ¬¬p
  4. 4¬r ∧ ¬p
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ (p ∨ s) ∧ (¬(r → q) ↔ (p → r)) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

(p ∨ s) ∧ (¬(r → q) ↔ (p → r))
N =
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ABCD000111100001111000111302040507060120131150141819111110

ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลคูณของผลบวก (POS) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 8, 9, 10, 11, 15) มีกี่พจน์ผลบวก (ตัวประกอบ) N

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 8, 9, 10, 11, 15)
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ABCD0001111000011110100113X204150716012013015114X809111110

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 6, 10, 11, 14) + d(2, 8) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 6, 10, 11, 14) + d(2, 8)
L =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 34 มอดูโล 53: จำนวน x ที่ 0 < x < 53 และ 34·x ≡ 1 (mod 53)

a = 34n = 53
34−1 mod 53 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

จงแก้ 30x ≡ 28 (mod 46) ให้คำตอบที่เป็นบวกและน้อยที่สุด x

30x ≡ 28 (mod 46)
x =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมการเรียงลำดับใดเป็นแบบเสถียร (stable)

  1. AMerge sort
  2. BSelection sort (แบบทั่วไป)
  3. CHeap sort
  4. DQuicksort (แบบทำในที่เดิมทั่วไป)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับการเลือกสมาชิกที่เล็กที่สุดอันดับที่ k ของอาร์เรย์ที่ไม่เรียงลำดับถูกต้อง

  1. Aการเลือกทำได้ใน O(n²) เท่านั้น
  2. Bการเลือกต้องใช้ Ω(n log n) เสมอเพราะต้องเรียงลำดับ
  3. CQuickselect ทำงานใน O(log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด เพราะเรียกซ้ำเพียงฝั่งเดียวของตัวหมุน
  4. DQuickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ข้อใดเป็นจริงเกี่ยวกับเมทริกซ์ประชิดของกราฟไม่มีทิศทาง

  1. Aสมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
  2. Bเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเสมอ
  3. Cเส้นทแยงมุมหลักมีเลขหนึ่งเสมอ
  4. Dแต่ละแถวมี 1 เพียงตัวเดียวพอดี
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

กฎของต้นไม้แดง–ดำรับประกันอะไรเกี่ยวกับความสูงของต้นไม้ที่มี n คีย์

  1. Aความสูงไม่เกิน log2 n + 1
  2. Bความสูงเท่ากับ log2 n พอดี
  3. Cความสูงไม่เกิน n / 2
  4. Dความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 12
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
143810465ABCDE

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด B ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4

เริ่มต้น: Bk = 4
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม BE
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

เหตุใดจึงสร้างดัชนี (index) บนคอลัมน์?

  1. Aเพื่อเร่งการค้นหาและการเชื่อมบนคอลัมน์เหล่านั้น
  2. Bเพื่อป้องกันค่า NULL
  3. Cเพื่อให้การแทรกและการแก้ไขข้อมูลบนคอลัมน์เหล่านั้นเร็วขึ้น
  4. Dเพื่อประหยัดพื้นที่ดิสก์
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ตาราง b มีค่า 1, 2 และ NULL ในคอลัมน์ y SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b) คืนอะไร?

  1. Aเฉพาะแถวของ a ที่ x เป็น NULL
  2. Bทุกแถวของ a
  3. Cแถวของ a ที่ x ไม่ใช่ 1 หรือ 2
  4. Dไม่มีแถวเลย
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

ลักษณะเฉพาะของการโจมตีแบบปฏิเสธการให้บริการแบบกระจาย (DDoS) คืออะไร?

  1. Aผู้โจมตีอ่านทราฟฟิก Wi-Fi ที่ไม่เข้ารหัสจากรถที่จอดอยู่ใกล้ ๆ
  2. Bเครื่องที่ถูกยึดจำนวนมากส่งทราฟฟิกท่วมเป้าหมาย
  3. Cผู้โจมตีคนเดียวเดารหัสผ่านของผู้ใช้
  4. Dไวรัสลบไฟล์บนพีซีเครื่องเดียว
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

ไฟร์วอลล์บล็อก ICMP ทั้งหมด คำขอเว็บขนาดเล็กใช้ได้ แต่การดาวน์โหลดขนาดใหญ่บนบางเส้นทางค้าง สาเหตุที่น่าจะเป็นคืออะไร?

  1. Apath MTU discovery ล้มเหลวเพราะข้อความ "fragmentation needed" ถูกบล็อก
  2. BDNS ต้องใช้ ICMP ในการแปลงชื่อ
  3. Cใบรับรอง TLS ถูกส่งผ่าน ICMP
  4. DTCP เปิดการเชื่อมต่อไม่ได้หากไม่มี ICMP
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
/24 → /2611111111111111111111111111000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 4 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H

192.168.10.0/244 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออคเต็ตสุดท้าย = 254112816413211618141201เครือข่ายโฮสต์

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.207.254/28 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายคือเท่าใด

10.20.207.254/28
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 209

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

47 = 0010 1111
ที่กลับบิตแล้ว: 1101 0000
+1 → 1101 0001

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1101 0001₂ = 256 − 47 = 209

คำตอบ

U = 209
2.ระบบเลข

คำตอบ: b = 10 bit

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

กำลังของสอง

29 = 512 < 1023
210 = 1024 ≥ 1023

คำตอบ

b = 10
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: r ∧ ¬¬p

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ส่วนต่าง ๆ ของนัย

a = r, b = ¬p

นิเสธของนัย

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = r ∧ ¬¬p

คำตอบ

r ∧ ¬¬p

ถ้าข้อสมมติทำให้เกิดข้อขัดแย้ง นัยนั้นต้องเป็นจริง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 7

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

p ∨ s; r → q; ¬(r → q); p → r; ¬(r → q) ↔ (p → r); (p ∨ s) ∧ (¬(r → q) ↔ (p → r))

แยกตาม p

p = 1: 6
p = 0: 1
N = 6 + 1 = 7

คำตอบ

N = 7
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ABCD000111100001111000111302040507060120131150141819111110

จัดกลุ่ม 0

ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม

(B′ + D)
(B′ + C)
(A + D)
(A + B′)

รูป POS ที่น้อยที่สุด

F = (B′ + D)(B′ + C)(A + D)(A + B′)
N = 4

คำตอบ

N = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 10

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

CD′, B′D′, B′C, A′BC′D
ABCD0001111000011110100113X204150716012013015114X809111110

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = CD′ + B′D′ + B′C + A′BC′D
L = 10

คำตอบ

L = 10
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 34−1 mod 53 = 39

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·34 (mod 53)

r = 53, t = 0
r = 34, q = 1, t = 1
r = 19, q = 1, t = −1
r = 15, q = 1, t = 2
r = 4, q = 3, t = −3
r = 3, q = 1, t = 11
r = 1, q = 3, t = −14

อินเวอร์ส

1 ≡ −14·34 (mod 53)
x = 39
ตรวจสอบ: 34·39 = 1326 = 25·53 + 1

คำตอบ

34−1 mod 53 = 39
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: x = 4

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

หารด้วย gcd

gcd(30, 46) = 2
15x ≡ 14 (mod 23)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

15−1 ≡ 20 (mod 23) → x ≡ 4 (mod 23)

คำตอบมอดูโล 46

x ∈ {4, 27}
x = 4

คำตอบ

x = 4
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · Merge sort

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Merge sort เสถียรเมื่อการผสานหยิบจากครึ่งซ้ายก่อนในกรณีที่เท่ากัน ส่วน quicksort แบบทำในที่เดิม heap sort และ selection sort มักไม่เสถียร

คำตอบ

A · Merge sort
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · Quickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

งานคาดหมายของ Quickselect คือ n + n/2 + n/4 + ... = O(n) เมื่อสุ่มตัวหลัก การเลือกตัวหลักด้วย median of medians ทำให้กรณีเลวร้ายที่สุดเป็นเชิงเส้น

คำตอบ

D · Quickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในกราฟไม่มีทิศทาง เส้นเชื่อม {u, v} หมายความว่าทั้ง M[u][v] และ M[v][u] ถูกตั้งค่า เมทริกซ์จึงเท่ากับทรานสโพสของมัน

คำตอบ

A · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทุกเส้นทางมีจำนวนโหนดดำเท่ากัน และโหนดแดงติดกันไม่ได้ เส้นทางที่ยาวที่สุดจึงไม่เกินสองเท่าของที่สั้นที่สุด ได้ความสูง O(log n)

คำตอบ

D · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม DE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. BE (5)
2. CE (4)
3. AC (3)
4. DE (6)

เส้นเชื่อมหมายเลข 4

DE

คำตอบ

เส้นเชื่อม DE
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: A · เพื่อเร่งการค้นหาและการเชื่อมบนคอลัมน์เหล่านั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ดัชนี (มักเป็น B-tree) เร่งการค้นหา แต่ใช้พื้นที่และทำให้การแทรกและการแก้ไขช้าลง เพราะต้องรักษาดัชนีให้ทันสมัย

คำตอบ

A · เพื่อเร่งการค้นหาและการเชื่อมบนคอลัมน์เหล่านั้น
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: D · ไม่มีแถวเลย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปรียบเทียบกับ NULL เป็น UNKNOWN เงื่อนไขทั้งหมดจึงไม่เคยเป็น TRUE การใช้ NOT EXISTS หรือกรอง NULL ออกหลีกเลี่ยงกับดักนี้ได้

คำตอบ

D · ไม่มีแถวเลย
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: B · เครื่องที่ถูกยึดจำนวนมากส่งทราฟฟิกท่วมเป้าหมาย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในการโจมตี DDoS แหล่งต้นทางจำนวนมากทำให้เซิร์ฟเวอร์หรือลิงก์ท่วมจนผู้ใช้ที่ถูกต้องไม่ได้รับบริการ การมีแหล่งต้นทางมากทำให้การบล็อกแบบง่ายทำได้ยาก

คำตอบ

B · เครื่องที่ถูกยึดจำนวนมากส่งทราฟฟิกท่วมเป้าหมาย
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: A · path MTU discovery ล้มเหลวเพราะข้อความ "fragmentation needed" ถูกบล็อก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

PMTUD อาศัยข้อความ ICMP เพื่อเรียนรู้ MTU ที่เล็กกว่า หากถูกทิ้ง แพ็กเก็ตขนาดใหญ่จะหายไปอย่างเงียบ ๆ ทำให้เกิดการเชื่อมต่อแบบ "หลุมดำ" (black hole)

คำตอบ

A · path MTU discovery ล้มเหลวเพราะข้อความ "fragmentation needed" ถูกบล็อก
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 62

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตที่ต้องยืม

22 = 4 ≥ 4 → b = 2, /26

โฮสต์ต่อซับเน็ต

26 − 2 = 62

คำตอบ

H = 62
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 240

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

ขนาดบล็อก

24 = 16

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊254/16⌋·16 = 240
บรอดคาสต์: 240 + 16 − 1 = 255
โฮสต์ที่ใช้ได้: 241 … 254

คำตอบ

x = 240

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals