พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −112 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −1128 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0011 0001 >> 1 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

0011 0001>> 1

R =

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ ¬(q ∧ p) ให้คลิกสูตรนั้น

¬(q ∧ p)

1¬q ∧ ¬p
2¬q ∨ p
3¬q ∨ ¬p
4¬q ∧ p

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x ∃y R(x, y) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃y ∀x ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = 1, I₁ = C, I₂ = C, I₃ = C′ จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N

I₀ = 1I₁ = CI₂ = CI₃ = C′

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 6, 10) + d(2, 5, 9, 13, 15) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 6, 10) + d(2, 5, 9, 13, 15)

L =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 63 มอดูโล 71: จำนวน x ที่ 0 < x < 71 และ 63·x ≡ 1 (mod 71)

a = 63n = 71

63⁻¹ mod 71 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

กุญแจ RSA ใช้จำนวนเฉพาะ p = 5 และ q = 41 และเลขชี้กำลังสาธารณะ e = 3 จงหาเลขชี้กำลังส่วนตัว d (0 < d < φ(n))

p = 5q = 41e = 3

d =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมใดหาเส้นทางสั้นที่สุดจากต้นทางหนึ่งในกราฟที่น้ำหนักเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ

Aอัลกอริทึมของ Kruskal
Bการค้นหาในแนวลึก
Cต้องใช้ Bellman–Ford ในทุกกรณี
Dอัลกอริทึมของ Dijkstra

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

Insertion sort ทำงานใน O(n) บนอินพุตที่เรียงแล้ว สิ่งนี้ขัดกับขอบเขตล่าง Ω(n log n) ของการเรียงแบบเปรียบเทียบหรือไม่

Aขัด แต่เฉพาะอาร์เรย์ที่สั้นกว่า 100
Bไม่ขัด เพราะ insertion sort ไม่ใช่การเรียงแบบเปรียบเทียบ
Cขัด ดังนั้นขอบเขตล่างจึงผิด
Dไม่ขัด ขอบเขตล่างใช้กับกรณีเลวร้ายที่สุดเหนือทุกอินพุต ไม่ใช่ทุกอินพุต

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

วิธีแก้การชนกันแบบใดเก็บคีย์ที่ชนกันไว้ในลิสต์ที่ถังเดียวกัน

Aการเชื่อมโซ่แยก (separate chaining)
Bการตรวจสอบกำลังสอง (quadratic probing)
Cการแฮชซ้อน (double hashing)
Dการตรวจสอบเชิงเส้น (linear probing)

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ heapsort ถูกต้อง

Aเรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
Bทำงานใน O(n) กับอินพุตใด ๆ
Cเสถียรและต้องใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
Dต้องใช้ binary search tree เป็นที่เก็บเพิ่มเติม จึงใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 8

1วงจรออยเลอร์
2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

14.ทฤษฎีกราฟยาก

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 6|E| = 8

W =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

dirty read คืออะไร?

Aการอ่านแถวเดิมสองครั้งแล้วได้ค่าเดิม
Bการอ่านข้อมูลจากดิสก์ที่เสียหาย
Cการอ่านข้อมูลโดยไม่มี WHERE
Dการอ่านข้อมูลที่ทรานแซกชันอื่นเขียนไว้แต่ยังไม่ commit

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

EXPLAIN (หรือ EXPLAIN ANALYZE ใน PostgreSQL) แสดงอะไรสำหรับคิวรี?

Aการเขียนคิวรีใหม่ในสัญกรณ์พีชคณิตเชิงสัมพันธ์เท่านั้น
Bแผนการประมวลผลที่ตัวปรับแต่งเลือก เช่น การสแกนและวิธีเชื่อม
Cรายชื่อผู้ใช้ที่รันคิวรี
Dความหมายของแต่ละคีย์เวิร์ด SQL ในคิวรี

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

เราเตอร์มีเส้นทางสำหรับ 10.0.0.0/8 และ 10.1.0.0/16 ใช้เส้นทางใดสำหรับแพ็กเก็ตไปยัง 10.1.5.5?

A10.0.0.0/8 เพราะครอบคลุมที่อยู่มากกว่า /16
B10.0.0.0/8 เพราะถูกเพิ่มก่อน
Cทั้งสองเส้นทาง โดยแบ่งทราฟฟิกเท่า ๆ กัน
D10.1.0.0/16 เพราะเป็นพรีฟิกซ์ที่ตรงกันยาวที่สุด

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

เหตุใด TCP จึงเลือกหมายเลขลำดับเริ่มต้นที่คาดเดาไม่ได้สำหรับแต่ละการเชื่อมต่อ?

Aเพื่อเลือกเส้นทางที่ดีที่สุดไปยังปลายทางสำหรับเซกเมนต์ของการเชื่อมต่อนั้น
Bเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับเซกเมนต์เก่าและทำให้แทรกเซกเมนต์ปลอมได้ยากขึ้น
Cเพื่อบีบอัดข้อมูลได้มีประสิทธิภาพขึ้น
Dเพื่อเข้ารหัสเพย์โหลดของแต่ละเซกเมนต์

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

เครือข่าย 192.168.235.0/24 ถูกแบ่งเป็นซับเน็ต /26 หมายเลข 1, 2, 3, … จากแอดเดรสต่ำสุด (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0) ออกเท็ตที่สี่ x ของเน็ตเวิร์กแอดเดรสของซับเน็ต 3 คือเท่าใด

192.168.235.0/24/26ซับเน็ต 3 (ซับเน็ต 1 เริ่มที่ .0)

x =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.128.191/27 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้สุดท้ายในซับเน็ตคือเท่าใด

10.20.128.191/27

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 144

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

112 = 0111 0000

ที่กลับบิตแล้ว: 1000 1111

+1 → 1001 0000

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1001 0000₂ = 256 − 112 = 144

คำตอบ

U = 144

2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 24

ทีละบิต

การเลื่อนขวา 1 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางขวา 1 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายขวาหายไปและศูนย์เข้ามาทางซ้าย

0011 0001 >> 1

= 0001 1000

ค่าของผลลัพธ์

0001 1000₂ = 24

คำตอบ

R = 24

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬q ∨ ¬p

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

เดอมอร์แกน: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ตัว ∧ เปลี่ยนเป็น ∨ และทั้งสองส่วนถูกใส่นิเสธ

¬(q ∧ p) ≡ ¬q ∨ ¬p

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

p = 1, q = 1: 0 | 0 1 0 0

p = 1, q = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0

คำตอบ

¬q ∨ ¬p

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x ∀y ¬R(x, y)

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

คำตอบ

∃x ∀y ¬R(x, y)

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 5

มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว

นิพจน์เอาต์พุต

F = A′B′ + A′BC + AB′C + ABC′

แถวที่ F = 1

ABC = 000, 001, 011, 101, 110

N = 5

คำตอบ

N = 5

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: L = 7

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

C′D, B′CD′, A′D′, A′C′

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = C′D + B′CD′ + A′D′

L = 7

คำตอบ

L = 7

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 63⁻¹ mod 71 = 62

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·63 (mod 71)

r = 71, t = 0

r = 63, q = 1, t = 1

r = 8, q = 7, t = −1

r = 7, q = 1, t = 8

r = 1, q = 7, t = −9

อินเวอร์ส

1 ≡ −9·63 (mod 71)

x = 62

ตรวจสอบ: 63·62 = 3906 = 55·71 + 1

คำตอบ

63⁻¹ mod 71 = 62

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: d = 107

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

มอดูลัสและโทเทียนต์

n = 5·41 = 205

φ(n) = 4·40 = 160

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

r = 160, t = 0

r = 3, q = 53, t = 1

r = 1, q = 3, t = −53

เลขชี้กำลังส่วนตัว

d = 107

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 3

จุดยอดคี่

A, B, D, E, F, G → 6

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 37

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BC (3): เลือก

DF (4): เลือก

CE (5): เลือก

BE (6): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร

B · เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับเซกเมนต์เก่าและทำให้แทรกเซกเมนต์ปลอมได้ยากขึ้น

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อก

2⁶ = 64

ซับเน็ตหมายเลข 3

เครือข่าย: (3 − 1)·64 = 128

บรอดคาสต์: 128 + 64 − 1 = 191

คำตอบ

x = 128

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 190

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

ขนาดบล็อก

2⁵ = 32

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊191/32⌋·32 = 160

บรอดคาสต์: 160 + 32 − 1 = 191

โฮสต์ที่ใช้ได้: 161 … 190

คำตอบ

x = 190

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals