ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
ตั้งบิตให้เก็บ −95 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด
N = −958 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
จำนวนเต็มที่ติดลบมากที่สุด N ที่เก็บได้ใน two's complement 12 บิตคือเท่าใด
12 bit
N =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N
((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q)
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
การอ้างเหตุผลที่มีสมมติฐาน c → b; ¬c และบทสรุป ¬b ไม่สมเหตุสมผล ให้คลิกแถวของตารางค่าความจริงที่เป็นตัวอย่างค้าน
c → b¬c∴ ¬b
- 1b = 1, c = 1
- 2b = 1, c = 0
- 3b = 0, c = 1
- 4b = 0, c = 0
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลบวกของผลคูณ (SOP) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15) มีกี่พจน์ผลคูณ N
F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15)
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 7, 15) + d(2, 5, 9, 11, 12, 14) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่ลิเทอรัล L
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 7, 15) + d(2, 5, 9, 11, 12, 14)
L =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาตัวผกผันของ 8 มอดูโล 47: จำนวน x ที่ 0 < x < 47 และ 8·x ≡ 1 (mod 47)
a = 8n = 47
8−1 mod 47 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
จงแก้ 15x ≡ 12 (mod 36) ให้คำตอบที่เป็นบวกและน้อยที่สุด x
15x ≡ 12 (mod 36)
x =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
ข้อใดเกี่ยวกับฟังก์ชันเรียกซ้ำที่ไม่มีกรณีฐานที่ไปถึงได้ถูกต้อง
- Aคืนค่า 0 โดยอัตโนมัติ
- Bเรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
- Cคอมไพเลอร์แปลงเป็นลูปที่จบอย่างปลอดภัยเสมอ
- Dทำงานในเวลา O(1)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ (undecidable) ต่างจากปัญหาที่จัดการไม่ได้ (intractable) อย่างไร
- Aทั้งสองหมายถึงปัญหาไม่มีอัลกอริทึมเลย
- Bปัญหาที่ตัดสินไม่ได้อยู่ใน NP ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้อยู่ใน P
- Cปัญหาที่จัดการไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้ ส่วนปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ต้องการเพียงเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
- Dปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
คุณมีการอ้างอิงถึงโหนดกลางลิสต์ ในลิสต์ชนิดใดลบมันได้ใน O(1)
- Aอาร์เรย์พลวัต
- Bลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยว
- Cอาร์เรย์เรียงลำดับ
- Dลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
segment tree มักใช้เพื่อ
- Aตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)
- Bสร้างสแตก
- Cเรียงสตริงตามตัวอักษรโดยเก็บแต่ละคำนำหน้าไว้ในโหนดต้นไม้แยกกัน
- Dเก็บเส้นเชื่อมของกราฟ
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ
|V| = 7|E| = 7
- 1วงจรออยเลอร์
- 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
- 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก
เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
ในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ ตัวดำเนินการการเลือก (σ) สอดคล้องกับอนุประโยค SQL ใด?
- AORDER BY
- BWHERE
- Cรายการ SELECT
- DGROUP BY
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
คิวรีต่อไปนี้ให้ผลอะไร: SELECT name FROM students WHERE grade > (SELECT AVG(grade) FROM students)?
- Aเฉพาะนักเรียนที่มีเกรดสูงสุด
- Bข้อผิดพลาด เพราะไม่อนุญาตซับคิวรีใน WHERE
- Cนักเรียนที่มีเกรดสูงกว่าเกรดเฉลี่ย
- Dเกรดเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหมด
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
โฮสต์ใดอยู่ในซับเน็ต /16 เดียวกับ 10.1.2.3?
- A10.1.200.5
- B10.0.2.3
- C11.1.2.3
- D10.2.2.3
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
การบล็อกหัวแถว (head-of-line blocking) ใน HTTP/2 บน TCP เกิดขึ้นเพราะ:
- Aเซกเมนต์ TCP ที่สูญหายทำให้ทุกสตรีมที่มัลติเพล็กซ์ล่าช้าจนกว่าจะส่งซ้ำ
- Bเซิร์ฟเวอร์รองรับคำขอแบบขนานไม่ได้
- Cแต่ละคำขอต้องใช้การเชื่อมต่อ TCP ใหม่ของตนเอง คำขอที่ตามมาจึงต้องรอในคิว
- DHTTP/2 ใช้ UDP
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 16 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H
192.168.10.0/2416 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.192.88/29 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่เครือข่ายคือเท่าใด
10.20.192.88/29
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: U = 161
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง
95 = 0101 1111
ที่กลับบิตแล้ว: 1010 0000
+1 → 1010 0001
อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย
1010 0001₂ = 256 − 95 = 161
คำตอบ
U = 161
2.ระบบเลข
คำตอบ: N = −2048
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
ค่าที่ติดลบมากที่สุด
−211 = −2048
คำตอบ
N = −2048
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: N = 3
ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∨ p = 1, ¬q = 0, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 0, ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, (¬p ∧ r) ∧ q = 0, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 0
p = 1, q = 1, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, ¬q = 0, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 0, ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, (¬p ∧ r) ∧ q = 0, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 0
p = 1, q = 0, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∨ p = 1, ¬q = 1, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 1, ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, (¬p ∧ r) ∧ q = 0, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, ¬q = 1, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 1, ¬p = 0, ¬p ∧ r = 0, (¬p ∧ r) ∧ q = 0, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∨ p = 0, ¬q = 0, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 0, ¬p = 1, ¬p ∧ r = 1, (¬p ∧ r) ∧ q = 1, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 0, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 0
p = 0, q = 1, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, ¬q = 0, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 0, ¬p = 1, ¬p ∧ r = 0, (¬p ∧ r) ∧ q = 0, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∨ p = 0, ¬q = 1, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 0, ¬p = 1, ¬p ∧ r = 1, (¬p ∧ r) ∧ q = 0, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∨ p = 1, ¬q = 1, (¬r ∨ p) ∧ ¬q = 1, ¬p = 1, ¬p ∧ r = 0, (¬p ∧ r) ∧ q = 0, ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1, ((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q) = 1
นับแถวที่มีค่าเป็น 1
((¬r ∨ p) ∧ ¬q) ∧ ¬((¬p ∧ r) ∧ q): 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1
N = 3
คำตอบ
N = 3
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: b = 1, c = 0
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
สมมติฐานและบทสรุปทีละแถว
b = 1, c = 1: 1 0 | 0
b = 1, c = 0: 1 1 | 0
b = 0, c = 1: 0 0 | 1
b = 0, c = 0: 1 1 | 1
ตัวอย่างค้าน
b = 1, c = 0
คำตอบ
b = 1, c = 0
การอ้างเหตุผลรูปแบบนี้ดูเหมือนกฎที่สมเหตุสมผล แต่แถวเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงว่าไม่ใช่
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 4
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
จัดกลุ่ม 1
ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม
CD
BC′D′
AD
AB′
รูป SOP ที่น้อยที่สุด
F = CD + BC′D′ + AD + AB′
N = 4
คำตอบ
N = 4
มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 5
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
ไพรม์อิมพลิแคนต์
กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X
B′C′D, BC′D′, BCD, A′C′, ACD, A′B′D′, A′BD, ABC
การครอบคลุมที่น้อยที่สุด
F = BCD + A′C′
L = 5
คำตอบ
L = 5
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: 8−1 mod 47 = 6
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย
เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·8 (mod 47)
r = 47, t = 0
r = 8, q = 5, t = 1
r = 7, q = 1, t = −5
r = 1, q = 7, t = 6
อินเวอร์ส
1 ≡ 6·8 (mod 47)
x = 6
ตรวจสอบ: 8·6 = 48 = 1·47 + 1
คำตอบ
8−1 mod 47 = 6
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 8
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
หารด้วย gcd
gcd(15, 36) = 3
5x ≡ 4 (mod 12)
แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว
5−1 ≡ 5 (mod 12) → x ≡ 8 (mod 12)
คำตอบมอดูโล 36
x ∈ {8, 20, 32}
x = 8
คำตอบ
x = 8
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: B · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ถ้าไม่มีกรณีฐาน การเรียกซ้ำจะไม่หยุด ในทางปฏิบัติหน่วยความจำสำหรับเฟรมสแต็กหมดและโปรแกรมล่ม
คำตอบ
B · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: D · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ปัญหาการหยุดไม่มีอัลกอริทึมเลย ส่วนปัญหา NP-hard เช่น TSP แก้ได้ด้วยกำลังเดรัจฉาน เพียงแต่ไม่ได้ในเวลาพหุนามที่ทราบ
คำตอบ
D · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: D · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
โหนดแบบสองทิศทางรู้โหนดก่อนหน้าของตน จึงเชื่อมใหม่ระหว่าง prev และ next ได้โดยตรง ลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวต้องค้นหาโหนดก่อนหน้า
คำตอบ
D · ลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: A · ตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
Segment tree เก็บค่ารวมของช่วง รองรับคำถามช่วงและการอัปเดตจุดในเวลา O(log n)
คำตอบ
A · ตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
ดีกรี
deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2
จุดยอดคี่
A, C, D, F → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
คำตอบ
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: d(F) = 21
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น
A (0): C: 4
C (4): B: 18, E: 19
B (18): D: 27
E (19): F: 21
F (21): D: 25
D (25)
เส้นทางที่สั้นที่สุด
A → C → E → F
d(F) = 21
คำตอบ
d(F) = 21
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: B · WHERE
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
σcondition(R) คืนทูเพิลของ R ที่เป็นไปตามเงื่อนไข เหมือนอนุประโยค WHERE
คำตอบ
B · WHERE
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: C · นักเรียนที่มีเกรดสูงกว่าเกรดเฉลี่ย
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ซับคิวรีสเกลาร์คำนวณค่าเฉลี่ย และคิวรีด้านนอกเก็บนักเรียนที่สูงกว่าค่านั้น
คำตอบ
C · นักเรียนที่มีเกรดสูงกว่าเกรดเฉลี่ย
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: A · 10.1.200.5
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
เมื่อเป็น /16 สิบหกบิตแรก (10.1) เป็นส่วนเครือข่าย มีเพียง 10.1.200.5 ที่ใช้ร่วมกัน จึงอยู่ใน 10.1.0.0/16
คำตอบ
A · 10.1.200.5
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: A · เซกเมนต์ TCP ที่สูญหายทำให้ทุกสตรีมที่มัลติเพล็กซ์ล่าช้าจนกว่าจะส่งซ้ำ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
TCP ส่งไบต์ตามลำดับ การสูญหายครั้งเดียวจึงทำให้ทุกสตรีมในการเชื่อมต่อหยุดชะงัก QUIC (HTTP/3) จัดการสตรีมแยกกันบน UDP
คำตอบ
A · เซกเมนต์ TCP ที่สูญหายทำให้ทุกสตรีมที่มัลติเพล็กซ์ล่าช้าจนกว่าจะส่งซ้ำ
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: H = 14
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
บิตที่ต้องยืม
24 = 16 ≥ 16 → b = 4, /28
โฮสต์ต่อซับเน็ต
24 − 2 = 14
คำตอบ
H = 14
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 88
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
23 = 8
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊88/8⌋·8 = 88
บรอดคาสต์: 88 + 8 − 1 = 95
โฮสต์ที่ใช้ได้: 89 … 94
คำตอบ
x = 88
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals