ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
รูปแบบ 8 บิต 0001 1111 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด
0001 11118 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 1010 0111 >> 1 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ
1010 0111>> 1
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N
¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q)
N =
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
กำหนดสมมติฐาน q → p; p → r บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น
q → pp → r
- 1q ∧ r
- 2r → q
- 3q → r
- 4¬q → ¬r
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
จงทำ F = A′C′ + AB′C′ + AB′ + B′C ให้เป็นรูปผลบวกของผลคูณที่น้อยที่สุด นิพจน์ที่ทำให้ง่ายแล้วมีกี่ลิเทอรัล L
F = A′C′ + AB′C′ + AB′ + B′C
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 7, 11, 12) + d(1, 5, 14, 15) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่พจน์ผลคูณ N
F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 7, 11, 12) + d(1, 5, 14, 15)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาตัวผกผันของ 9 มอดูโล 58: จำนวน x ที่ 0 < x < 58 และ 9·x ≡ 1 (mod 58)
a = 9n = 58
9−1 mod 58 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
กุญแจ RSA ใช้จำนวนเฉพาะ p = 23 และ q = 43 และเลขชี้กำลังสาธารณะ e = 13 จงหาเลขชี้กำลังส่วนตัว d (0 < d < φ(n))
p = 23q = 43e = 13
d =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
ขอบเขตล่างของการเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบในกรณีเลวร้ายที่สุดคือ
- AΩ(n log n)
- BΩ(n²)
- CΩ(n)
- DΩ(log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
เหตุใดอัลกอริทึมของ Dijkstra จึงอาจให้ผลผิดเมื่อน้ำหนักเส้นเชื่อมบางเส้นติดลบ
- Aจุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
- Bตัวเลขติดลบเก็บในคิวลำดับความสำคัญไม่ได้
- Cเข้าสู่ลูปไม่สิ้นสุดทุกครั้งที่พบเส้นเชื่อมติดลบ
- Dใช้ได้กับกราฟไม่มีทิศทางเท่านั้น
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
บัฟเฟอร์วงกลม (circular buffer หรือ ring buffer) มักใช้สร้าง
- Aต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค
- Bฟังก์ชันแฮช
- Cคิวขนาดคงที่
- Dการท่องกราฟ
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
เหตุใดจึงใช้ B-tree ในฐานข้อมูลและระบบไฟล์
- Aใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอาร์เรย์ใด ๆ ดัชนีทั้งหมดจึงเก็บในหน่วยความจำหลักได้เสมอ
- Bไม่ต้องปรับสมดุลใหม่
- Cเก็บข้อมูลโดยไม่เรียงลำดับ
- Dตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L
4 × deg 43 × deg 5
L =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก
เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
คีย์นอกถูกประกาศด้วย ON DELETE CASCADE เกิดอะไรขึ้นเมื่อแถวแม่ถูกลบ?
- Aแถวลูกที่อ้างอิงแถวนั้นถูกลบโดยอัตโนมัติ
- Bแถวแม่ถูกคัดลอกไปยังตารางเก็บถาวร
- Cการลบถูกปฏิเสธเสมอ
- Dคีย์นอกในแถวลูกถูกตั้งเป็น NULL โดยอัตโนมัติ
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
ทรานแซกชัน T1 ล็อกแถว A และรอแถว B ขณะที่ T2 ล็อกแถว B และรอแถว A DBMS ทั่วไปทำอย่างไร?
- Aปล่อยให้ทั้งสองทรานแซกชันรอจนกว่าหนึ่งในนั้นจะคอมมิตตามปกติ
- Bรวมสองทรานแซกชันเป็นหนึ่ง
- Cตรวจพบ deadlock และยกเลิกทรานแซกชันหนึ่งเป็นผู้เสียสละ
- Dcommit ทั้งสองทรานแซกชันพร้อมกัน
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
เครือข่าย IPv4 /24 มีที่อยู่โฮสต์ที่ใช้งานได้กี่ที่อยู่?
- A256
- B254
- C252
- D255
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
เหตุใด TCP จึงเลือกหมายเลขลำดับเริ่มต้นที่คาดเดาไม่ได้สำหรับแต่ละการเชื่อมต่อ?
- Aเพื่อเลือกเส้นทางที่ดีที่สุดไปยังปลายทางสำหรับเซกเมนต์ของการเชื่อมต่อนั้น
- Bเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับเซกเมนต์เก่าและทำให้แทรกเซกเมนต์ปลอมได้ยากขึ้น
- Cเพื่อบีบอัดข้อมูลได้มีประสิทธิภาพขึ้น
- Dเพื่อเข้ารหัสเพย์โหลดของแต่ละเซกเมนต์
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 1837 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด
1837 hosts
p =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.16.60/27 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้สุดท้ายในซับเน็ตคือเท่าใด
10.20.16.60/27
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: N = 31
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
บวกค่าประจำตำแหน่ง
บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
คำตอบ
N = 31
2.ระบบเลข
คำตอบ: R = 83
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
ทีละบิต
การเลื่อนขวา 1 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางขวา 1 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายขวาหายไปและศูนย์เข้ามาทางซ้าย
1010 0111 >> 1
= 0101 0011
ค่าของผลลัพธ์
0101 0011₂ = 83
คำตอบ
R = 83
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: N = 7
ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: q → p = 1, r ∧ (q → p) = 1, ¬(r ∧ (q → p)) = 0, p ∨ r = 1, (p ∨ r) ∨ q = 1, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q → p = 1, r ∧ (q → p) = 0, ¬(r ∧ (q → p)) = 1, p ∨ r = 1, (p ∨ r) ∨ q = 1, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: q → p = 1, r ∧ (q → p) = 1, ¬(r ∧ (q → p)) = 0, p ∨ r = 1, (p ∨ r) ∨ q = 1, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: q → p = 1, r ∧ (q → p) = 0, ¬(r ∧ (q → p)) = 1, p ∨ r = 1, (p ∨ r) ∨ q = 1, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: q → p = 0, r ∧ (q → p) = 0, ¬(r ∧ (q → p)) = 1, p ∨ r = 1, (p ∨ r) ∨ q = 1, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: q → p = 0, r ∧ (q → p) = 0, ¬(r ∧ (q → p)) = 1, p ∨ r = 0, (p ∨ r) ∨ q = 1, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: q → p = 1, r ∧ (q → p) = 1, ¬(r ∧ (q → p)) = 0, p ∨ r = 1, (p ∨ r) ∨ q = 1, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: q → p = 1, r ∧ (q → p) = 0, ¬(r ∧ (q → p)) = 1, p ∨ r = 0, (p ∨ r) ∨ q = 0, ¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q) = 0
นับแถวที่มีค่าเป็น 1
¬(r ∧ (q → p)) → ((p ∨ r) ∨ q): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0
N = 7
คำตอบ
N = 7
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: q → r
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง
p = 1, q = 1, r = 1: q ∧ r = 1, r → q = 1, q → r = 1, ¬q → ¬r = 1
p = 1, q = 0, r = 1: q ∧ r = 0, r → q = 0, q → r = 1, ¬q → ¬r = 0
p = 0, q = 0, r = 1: q ∧ r = 0, r → q = 0, q → r = 1, ¬q → ¬r = 0
p = 0, q = 0, r = 0: q ∧ r = 0, r → q = 1, q → r = 1, ¬q → ¬r = 1
สรุป
q → r (ซิลโลจิซึมสมมุติฐาน)
คำตอบ
q → r
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 3
พีชคณิตแบบบูล: กฎที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้แก่ X + X′ = 1 และ X·X′ = 0, X + X = X, การดูดกลืน X + X·Y = X, กฎการรวม X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y และทฤษฎีบทฉันทามติ XY + X′Z + YZ = XY + X′Z กฎของเดอมอร์แกนเปลี่ยน (X·Y)′ เป็น X′ + Y′ และ (X + Y)′ เป็น X′·Y′ แผนที่คาร์โนห์ใช้กฎเหล่านี้ในรูปภาพ: ทุกกลุ่มของสองเซลล์ที่อยู่ติดกันคือการใช้ XY + XY′ = X หนึ่งครั้ง
มินเทอมของนิพจน์
A′C′ → m(0, 2)
AB′C′ → m(4)
AB′ → m(4, 5)
B′C → m(1, 5)
จัดกลุ่มและอ่านค่า
F = B′ + A′C′
นับลิเทอรัล
L = 3
คำตอบ
L = 3
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 3
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
ไพรม์อิมพลิแคนต์
กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X
CD, BD′, BC, A′D, A′C, A′B
การครอบคลุมที่น้อยที่สุด
F = CD + BD′ + A′C
N = 3
คำตอบ
N = 3
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: 9−1 mod 58 = 13
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย
เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·9 (mod 58)
r = 58, t = 0
r = 9, q = 6, t = 1
r = 4, q = 2, t = −6
r = 1, q = 4, t = 13
อินเวอร์ส
1 ≡ 13·9 (mod 58)
x = 13
ตรวจสอบ: 9·13 = 117 = 2·58 + 1
คำตอบ
9−1 mod 58 = 13
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: d = 853
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
มอดูลัสและโทเทียนต์
n = 23·43 = 989
φ(n) = 22·42 = 924
ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย
r = 924, t = 0
r = 13, q = 71, t = 1
r = 1, q = 13, t = −71
เลขชี้กำลังส่วนตัว
d = 853
ตรวจสอบ: 13·853 = 11089 = 12·924 + 1
คำตอบ
d = 853
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: A · Ω(n log n)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การเรียงแบบเปรียบเทียบใด ๆ ต้องใช้อย่างน้อย log₂(n!) ≈ n log n ครั้งในกรณีเลวร้ายที่สุด การเรียงแบบนับ (counting sort) ทำได้ดีกว่าเพราะไม่ได้เปรียบเทียบ
คำตอบ
A · Ω(n log n)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: A · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ขั้นตอนละโมบพึ่งพาน้ำหนักที่ไม่เป็นลบเพื่อให้ระยะทางที่ดึงออกเป็นค่าสุดท้าย เมื่อน้ำหนักอาจติดลบให้ใช้ Bellman–Ford
คำตอบ
A · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: C · คิวขนาดคงที่
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
Ring buffer ใช้ดัชนีหัวและท้ายที่วนกลับ ให้ enqueue และ dequeue ใน O(1) ด้วยหน่วยความจำคงที่
คำตอบ
C · คิวขนาดคงที่
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: D · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
B-tree เก็บหลายคีย์ต่อโหนด ความสูงจึงน้อยและใช้การอ่านบล็อกไม่กี่ครั้งต่อการค้นหา B+ tree ยังเชื่อมใบเพื่อสแกนช่วง
คำตอบ
D · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: L = 19
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้
L + 31 = 2(L + 7) − 2
L = 19
คำตอบ
L = 19
ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: d(F) = 25
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น
A (0): B: 8, C: 9
B (8): D: 11, G: 16
C (9): E: 19
D (11)
G (16)
E (19): F: 25
F (25)
เส้นทางที่สั้นที่สุด
A → C → E → F
d(F) = 25
คำตอบ
d(F) = 25
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: A · แถวลูกที่อ้างอิงแถวนั้นถูกลบโดยอัตโนมัติ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
CASCADE ส่งต่อการลบไปยังแถวที่อ้างอิง ตัวเลือกอื่นคือ RESTRICT/NO ACTION (ปฏิเสธ) และ SET NULL
คำตอบ
A · แถวลูกที่อ้างอิงแถวนั้นถูกลบโดยอัตโนมัติ
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: C · ตรวจพบ deadlock และยกเลิกทรานแซกชันหนึ่งเป็นผู้เสียสละ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
วงจรในกราฟการรอ (wait-for graph) คือ deadlock DBMS rollback ทรานแซกชันหนึ่งเพื่อให้อีกอันดำเนินต่อได้ และผู้เสียสละอาจถูกลองใหม่
คำตอบ
C · ตรวจพบ deadlock และยกเลิกทรานแซกชันหนึ่งเป็นผู้เสียสละ
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: B · 254
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
/24 มีบิตโฮสต์ 8 บิต ดังนั้น 2⁸ = 256 ที่อยู่ ที่อยู่เครือข่ายและบรอดแคสต์ถูกสงวนไว้ เหลือ 254 สำหรับโฮสต์
คำตอบ
B · 254
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: B · เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับเซกเมนต์เก่าและทำให้แทรกเซกเมนต์ปลอมได้ยากขึ้น
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
หมายเลขลำดับเริ่มต้นแบบสุ่มป้องกันไม่ให้ยอมรับเซกเมนต์ที่ล่าช้าจากการเชื่อมต่อเก่า และทำให้ผู้โจมตีนอกเส้นทางปลอมเซกเมนต์ที่ใช้ได้ยาก
คำตอบ
B · เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับเซกเมนต์เก่าและทำให้แทรกเซกเมนต์ปลอมได้ยากขึ้น
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: p = 21
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
บิตโฮสต์ที่ต้องใช้
210 − 2 = 1022 < 1837
211 − 2 = 2046 ≥ 1837 → h = 11
ความยาวพรีฟิกซ์
p = 32 − 11 = 21
คำตอบ
p = /21
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 62
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
25 = 32
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊60/32⌋·32 = 32
บรอดคาสต์: 32 + 32 − 1 = 63
โฮสต์ที่ใช้ได้: 33 … 62
คำตอบ
x = 62
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals