พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง
ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
เป็นเลขฐานสิบ
Σ dk·bk
จากเลขฐานสิบ
หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement
กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
ฟลิปฟล็อป
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ
n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
ตัวนับริปเปิล
fmax = 1/(n·tpd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
n และ 2n สถานะ

วิธีการ

  1. สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
  2. สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
  3. ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
  4. สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก
256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย
IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์
IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
2n

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง
ค่าประจำตำแหน่งใน two's complement1−12816403211608140211

รูปแบบ 8 บิต 1101 0101 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

1101 01018 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
คลิกบิตเพื่อตั้งค่า012806403201608040201

ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0101 1100 XOR 1100 1010 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ

0101 1100XOR1100 1010
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
(q ∧ p) → r¬r → ¬(q ∧ p)r ∧ ¬(q ∧ p)¬(q ∧ p) → ¬r

คุณต้องการพิสูจน์ r → (q ∧ p) ด้วยการแย้งสลับที่ ควรพิสูจน์นัยใดแทน ให้คลิกนัยนั้น

r → (q ∧ p)
  1. 1(q ∧ p) → r
  2. 2¬r → ¬(q ∧ p)
  3. 3r ∧ ¬(q ∧ p)
  4. 4¬(q ∧ p) → ¬r
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ ((a ∨ ¬b) ∧ a) → (¬c ∧ d) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

((a ∨ ¬b) ∧ a) → (¬c ∧ d)
N =
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
MUX1I0​1I1​CI2​0I3​ABS1​S0​F

มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = 1, I₁ = 1, I₂ = C, I₃ = 0 จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N

I₀ = 1I₁ = 1I₂ = CI₃ = 0
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ABCD000111100001111000X1030204051706012X13115114X819011110

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(7, 9, 10, 14, 15) + d(1, 8, 13) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(7, 9, 10, 14, 15) + d(1, 8, 13)
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(121) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 121 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 121

n = 121 = 112
φ(121) =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

18x ≡ 30 (mod 33) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 32}

18x ≡ 30 (mod 33)
N =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for j = 1 to i: ทำงาน O(1) คือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้นทุนแบบกระจายของการเพิ่มค่าตัวนับฐานสองหนึ่งครั้งคือเท่าใด เมื่อการเพิ่มหนึ่งครั้งอาจพลิกหลายบิต

  1. AO(log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  2. BO(n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  3. CO(n log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  4. DO(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การค้นหาคำความยาว L ใน trie ที่มีตัวอักษรคงที่ใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(L × n)
  2. BO(n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  3. CO(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
  4. DO(log n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
12.โครงสร้างข้อมูลยาก

หากไม่มี union by rank หรือ path compression ต้นทุนในกรณีเลวร้ายที่สุดของ find หนึ่งครั้งในโครงสร้าง union-find ที่มี n สมาชิกคือเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 9
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
14.ทฤษฎีกราฟยาก
753213438ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

ข้อใดเกี่ยวกับ HAVING ถูกต้อง?

  1. Aต้องมาก่อน WHERE ในคำสั่ง SELECT
  2. Bใช้ร่วมกับ GROUP BY ไม่ได้
  3. Cใช้เรียงลำดับผลลัพธ์
  4. Dใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ด้วยการควบคุมภาวะพร้อมกันแบบหลายเวอร์ชัน (MVCC) ผู้อ่านหลีกเลี่ยงการบล็อกผู้เขียนได้อย่างไร?

  1. Aผู้อ่านรอจนผู้เขียนทั้งหมด commit เสมอ
  2. Bไม่อนุญาตผู้เขียนขณะมีผู้อ่านที่ทำงานอยู่
  3. Cผู้อ่านอ่านข้อมูลที่ยังไม่ commit โดยตรง
  4. Dผู้อ่านเห็นสแน็ปช็อตที่สอดคล้องของเวอร์ชันแถวที่ commit แล้ว ขณะที่ผู้เขียนสร้างเวอร์ชันใหม่
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

พรีฟิกซ์เดียวใดสรุปรวมทั้ง 192.168.0.0/24 และ 192.168.1.0/24 ได้?

  1. A192.168.0.0/23
  2. B192.168.1.0/23
  3. C192.168.0.0/22
  4. D192.168.0.0/25
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

เหตุใดฝ่ายที่ปิดการเชื่อมต่อ TCP ก่อนจึงอยู่ในสถานะ TIME_WAIT เป็นเวลาสองเท่าของอายุเซกเมนต์สูงสุด?

  1. Aเพื่อให้เราเตอร์ตามเส้นทางอัปเดตตารางเส้นทางสำหรับการเชื่อมต่อครั้งถัดไป
  2. Bเพื่อให้เซกเมนต์ที่ล่าช้าหมดไปและส่ง ACK สุดท้ายซ้ำได้หากสูญหาย
  3. Cเพื่อเก็บกุญแจเข้ารหัสไว้ใช้ซ้ำภายหลัง
  4. Dเพื่อรอให้แคช DNS หมดอายุ
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
255.255.252.011111111111111111111110000000000บิตเครือข่ายบิตโฮสต์

ซับเน็ตหนึ่งใช้มาสก์ 255.255.252.0 มีที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้กี่ที่อยู่ H

255.255.252.0
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
ออกเท็ตที่สาม = 101012816413201608140211เครือข่ายโฮสต์

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.101.10/22 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่บรอดแคสต์ของซับเน็ตมันคือเท่าใด

172.20.101.10/22
x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: N = −43

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บวกค่าประจำตำแหน่ง

บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ

−128 + 64 + 16 + 4 + 1 = −43

คำตอบ

N = −43
2.ระบบเลข

คำตอบ: R = 150

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

ทีละบิต

XOR ให้ 1 เมื่อสองบิตต่างกัน

0101 1100
XOR 1100 1010
= 1001 0110

ค่าของผลลัพธ์

1001 0110₂ = 150

คำตอบ

R = 150
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬(q ∧ p) → ¬r

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ส่วนต่าง ๆ ของนัย

a = r, b = q ∧ p

การแย้งสลับที่

¬b → ¬a = ¬(q ∧ p) → ¬r

คำตอบ

¬(q ∧ p) → ¬r

การแย้งสลับที่สมมูลกับประโยคเดิม ดังนั้นการพิสูจน์การแย้งสลับที่ก็พิสูจน์ประโยคเดิม

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 10

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

¬b; a ∨ ¬b; (a ∨ ¬b) ∧ a; ¬c; ¬c ∧ d; ((a ∨ ¬b) ∧ a) → (¬c ∧ d)

แยกตาม a

a = 1: 2
a = 0: 8
N = 2 + 8 = 10

คำตอบ

N = 10
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 5

มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว

นิพจน์เอาต์พุต

F = A′B′ + A′B + AB′C

แถวที่ F = 1

ABC = 000, 001, 010, 011, 101
N = 5

คำตอบ

N = 5
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

B′C′D, BCD, AC′D, ACD′, AB′D′, ABD, AB′C′, ABC
ABCD000111100001111000X1030204051706012X13115114X819011110

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = B′C′D + BCD + ACD′
N = 3

คำตอบ

N = 3

มีการจัดกลุ่มอีกแบบที่มีขนาดเท่ากัน ซึ่งมีจำนวนพจน์และลิเทอรัลเท่ากัน

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(121) = 110

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

121 = 112

โทเทียนต์

φ(121) = 121 − 11 = 110

คำตอบ

φ(121) = 110
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: N = 3

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

หารด้วย gcd

gcd(18, 33) = 3
6x ≡ 10 (mod 11)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

6−1 ≡ 2 (mod 11) → x ≡ 9 (mod 11)

คำตอบมอดูโล 33

x ∈ {9, 20, 31}
N = 3

คำตอบ

N = 3
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื้อหาของลูปชั้นในทำงานรวม n(n + 1) / 2 ครั้ง ซึ่งยังเป็นกำลังสอง

คำตอบ

D · O(n²)
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตลอดการเพิ่ม n ครั้ง บิต i พลิกประมาณ n / 2ⁱ ครั้ง ผลรวมจึงน้อยกว่า 2n การพลิก เฉลี่ย O(1) ต่อครั้ง

คำตอบ

D · O(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
11.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละอักขระเลือกลูกหนึ่งตัว การค้นหาจึงใช้ L ขั้นตอนไม่ว่า trie จะมีกี่คำ

คำตอบ

C · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
12.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การรวมอย่างไร้เดียงสาเชื่อมต้นไม้เป็นโซ่ยาวได้ find จึงอาจตามตัวชี้แม่ n − 1 ตัว ทั้งสองฮิวริสติกทำให้ใกล้ค่าคงที่

คำตอบ

C · O(n)
13.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 12

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 7, C: 5
C (5): E: 18
B (7): D: 9, E: 15
D (9): E: 13, F: 12
F (12)
E (13)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 12

คำตอบ

d(F) = 12
15.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: D · ใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

HAVING กรองกลุ่มหลังการรวมค่าและอ้างอิงฟังก์ชันรวมค่าได้ ส่วน WHERE ทำไม่ได้

คำตอบ

D · ใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้
16.ฐานข้อมูลและ SQL

คำตอบ: D · ผู้อ่านเห็นสแน็ปช็อตที่สอดคล้องของเวอร์ชันแถวที่ commit แล้ว ขณะที่ผู้เขียนสร้างเวอร์ชันใหม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

MVCC เก็บเวอร์ชันแถวเก่าไว้ ผู้อ่านจึงเห็นข้อมูล ณ เวลาสแน็ปช็อตของตน ขณะที่ผู้เขียนสร้างเวอร์ชันใหม่แทนการเขียนทับ

คำตอบ

D · ผู้อ่านเห็นสแน็ปช็อตที่สอดคล้องของเวอร์ชันแถวที่ commit แล้ว ขณะที่ผู้เขียนสร้างเวอร์ชันใหม่
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: A · 192.168.0.0/23

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

0 และ 1 ใช้บิตเหมือนกันทั้งหมดในอ็อกเต็ตที่สามยกเว้นบิตสุดท้าย พรีฟิกซ์ที่สั้นลงหนึ่งบิต (/23) เริ่มที่ 192.168.0.0 จึงครอบคลุมทั้งสองพอดี

คำตอบ

A · 192.168.0.0/23
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์

คำตอบ: B · เพื่อให้เซกเมนต์ที่ล่าช้าหมดไปและส่ง ACK สุดท้ายซ้ำได้หากสูญหาย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

TIME_WAIT รับประกันว่า ACK สุดท้ายที่สูญหายส่งซ้ำได้ และเซกเมนต์ซ้ำเก่าหมดอายุก่อนที่จะใช้คู่ที่อยู่และพอร์ตเดิมอีก

คำตอบ

B · เพื่อให้เซกเมนต์ที่ล่าช้าหมดไปและส่ง ACK สุดท้ายซ้ำได้หากสูญหาย
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: H = 1022

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ความยาวพรีฟิกซ์

255.255.252.0 = /22

โฮสต์ที่ใช้ได้

210 − 2 = 1022

คำตอบ

H = 1022
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 103

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

22 = 4

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.100.0
บรอดคาสต์: 172.20.103.255

คำตอบ

x = 103

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals