ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
ตั้งบิตให้เก็บ −43 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด
N = −438 bit
U =
2.ระบบเลขยาก
ตั้งบิตให้เป็นผลลัพธ์ 8 บิตของ 0010 0110 >> 2 ค่าของผลลัพธ์ R เป็นเท่าใดในเลขฐานสิบ
0010 0110>> 2
R =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ
((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r)
- 1ซ้ำซ้อน (tautology)
- 2ขัดแย้ง (contradiction)
- 3contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
กำหนดสมมติฐาน r ∨ q; ¬r ∨ p บทสรุปใดตามมาจากสมมติฐานเหล่านี้ ให้คลิกบทสรุปนั้น
r ∨ q¬r ∨ p
- 1q ∧ p
- 2¬q
- 3r ∨ p
- 4q ∨ p
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
จงทำ F = ABC + ABC′ + BC′ ให้เป็นรูปผลบวกของผลคูณที่น้อยที่สุด นิพจน์ที่ทำให้ง่ายแล้วมีกี่ลิเทอรัล L
F = ABC + ABC′ + BC′
L =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ชิฟต์รีจิสเตอร์ 4 บิต Q₃Q₂Q₁Q₀ เก็บค่า 1001 ทุกขอบสัญญาณนาฬิกา บิตเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ หายไป) และอินพุตอนุกรมเข้าสู่ Q₃ อินพุตอนุกรมเป็น 1, 1, 0, 1 ที่ขอบ 4 จงหาสถานะสุดท้าย Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ เป็นเลขฐานสิบ
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10011, 1, 0, 1
Q =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาตัวผกผันของ 6 มอดูโล 11: จำนวน x ที่ 0 < x < 11 และ 6·x ≡ 1 (mod 11)
a = 6n = 11
6−1 mod 11 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
กุญแจ RSA ใช้จำนวนเฉพาะ p = 13 และ q = 17 และเลขชี้กำลังสาธารณะ e = 19 จงหาเลขชี้กำลังส่วนตัว d (0 < d < φ(n))
p = 13q = 17e = 19
d =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
อัลกอริทึมใดหาเส้นทางสั้นที่สุดจากต้นทางหนึ่งในกราฟที่น้ำหนักเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ
- Aอัลกอริทึมของ Dijkstra
- Bต้องใช้ Bellman–Ford ในทุกกรณี
- Cการค้นหาในแนวลึก
- Dอัลกอริทึมของ Kruskal
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
ปัญหาพนักงานขายเดินทางถูกจัดประเภทอย่างไร
- Aแบบการตัดสินใจอยู่ใน P แต่แบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-complete
- Bตัดสินไม่ได้
- Cอยู่ใน P เพราะอัลกอริทึมของ Dijkstra แก้ได้โดยเยี่ยมชมทุกเมืองหนึ่งครั้ง
- Dแบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
จุดประสงค์ของโหนดยามเฝ้า (sentinel หรือ dummy) ในลิงก์ลิสต์คืออะไร
- Aเก็บจำนวนสมาชิก
- Bเพื่อป้องกันไม่ให้ลิสต์ขยายเกินจำนวนโหนดสูงสุดที่กำหนดไว้
- Cทำให้โค้ดง่ายขึ้นโดยตัดกรณีพิเศษที่หัวหรือท้าย
- Dทำให้ลิสต์เรียงลำดับ
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
การแฮชซ้อน (double hashing) ลดปัญหาใดของ linear probing เป็นหลัก
- Aการจับกลุ่มปฐมภูมิ (primary clustering) ซึ่งช่องที่ถูกใช้ต่อกันเป็นสายยาว
- Bความจำเป็นต้องมีฟังก์ชันแฮช
- Cความจำเป็นต้องเก็บคีย์ในตาราง
- Dต้นทุน O(n) ในการอ่านค่าของคีย์
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 4, 4 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L
2 × deg 33 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก
เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
SELECT SUM(amount) FROM orders คืนอะไรเมื่อ WHERE ไม่ตรงกับแถวใดเลย?
- Aข้อผิดพลาด
- B0
- Cสตริงว่าง
- DNULL
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
รูปแบบบรรทัดฐานบอยซ์–คอดด์ (BCNF) กำหนดว่าสำหรับทุกการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันที่ไม่ธรรมดา X → Y:
- AY เป็นคีย์หลัก
- BY เป็นอะตอมมิก
- CX เป็นซูเปอร์คีย์
- DX มี NULL
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
NAT (การแปลงที่อยู่เครือข่าย) ใช้เป็นหลักเพื่อ:
- Aให้อุปกรณ์จำนวนมากที่ใช้ที่อยู่ส่วนตัวใช้ที่อยู่ IP สาธารณะร่วมกันเพียงหนึ่งที่อยู่
- Bเพิ่มความเร็วของสายเคเบิลเครือข่าย
- Cแปลงชื่อโดเมนเป็นที่อยู่ IP สำหรับอุปกรณ์ในเครือข่ายท้องถิ่น
- Dเข้ารหัสทราฟฟิกระหว่างสองไซต์
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
BGP ทำหน้าที่หลักอะไรบนอินเทอร์เน็ต?
- Aกำหนดที่อยู่ IP ให้ผู้ใช้ตามบ้านผ่านผู้ให้บริการอินเทอร์เน็ตของตน
- Bแปลงชื่อเป็นที่อยู่
- Cเข้ารหัสข้อมูลระหว่างเราเตอร์
- Dแลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
เครือข่าย 192.168.10.0/24 ต้องแบ่งเป็นซับเน็ตขนาดเท่ากันอย่างน้อย 12 ซับเน็ต หากยืมบิตให้น้อยที่สุด แต่ละซับเน็ตมีโฮสต์ที่ใช้ได้กี่เครื่อง H
192.168.10.0/2412 subnets
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.23.65/29 ตัวเลขสุดท้าย (ออคเต็ตที่สี่) x ของที่อยู่บรอดคาสต์ของซับเน็ตคือเท่าใด
10.20.23.65/29
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: U = 213
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง
43 = 0010 1011
ที่กลับบิตแล้ว: 1101 0100
+1 → 1101 0101
อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย
1101 0101₂ = 256 − 43 = 213
คำตอบ
U = 213
2.ระบบเลข
คำตอบ: R = 9
การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน
ทีละบิต
การเลื่อนขวา 2 ตำแหน่งย้ายทุกบิตไปทางขวา 2 ตำแหน่ง บิตที่หลุดออกปลายขวาหายไปและศูนย์เข้ามาทางซ้าย
0010 0110 >> 2
= 0000 1001
ค่าของผลลัพธ์
0000 1001₂ = 9
คำตอบ
R = 9
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: contingency
ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
ตารางค่าความจริงทีละแถว
p = 1, q = 1, r = 1: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q → p = 1, q → r = 0, (q → p) ∧ (q → r) = 0, p → r = 0, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 0, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: q → p = 0, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 0, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: q → p = 0, q → r = 0, (q → p) ∧ (q → r) = 0, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: q → p = 1, q → r = 1, (q → p) ∧ (q → r) = 1, p → r = 1, ((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r) = 1
จัดประเภท
((q → p) ∧ (q → r)) → (p → r): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1
1 ใน 7 จาก 8 แถว 0 ในแถวอื่น: ประพจน์ที่ไม่แน่นอน (contingency)
คำตอบ
contingency
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: q ∨ p
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
แถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็นจริง
p = 1, q = 1, r = 1: q ∧ p = 1, ¬q = 0, r ∨ p = 1, q ∨ p = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q ∧ p = 1, ¬q = 0, r ∨ p = 1, q ∨ p = 1
p = 1, q = 0, r = 1: q ∧ p = 0, ¬q = 1, r ∨ p = 1, q ∨ p = 1
p = 0, q = 1, r = 0: q ∧ p = 0, ¬q = 0, r ∨ p = 0, q ∨ p = 1
สรุป
q ∨ p (ความละเอียด)
คำตอบ
q ∨ p
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: L = 4
พีชคณิตแบบบูล: กฎที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นได้แก่ X + X′ = 1 และ X·X′ = 0, X + X = X, การดูดกลืน X + X·Y = X, กฎการรวม X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y และทฤษฎีบทฉันทามติ XY + X′Z + YZ = XY + X′Z กฎของเดอมอร์แกนเปลี่ยน (X·Y)′ เป็น X′ + Y′ และ (X + Y)′ เป็น X′·Y′ แผนที่คาร์โนห์ใช้กฎเหล่านี้ในรูปภาพ: ทุกกลุ่มของสองเซลล์ที่อยู่ติดกันคือการใช้ XY + XY′ = X หนึ่งครั้ง
มินเทอมของนิพจน์
ABC → m(7)
ABC′ → m(6)
BC′ → m(2, 6)
จัดกลุ่มและอ่านค่า
F = BC′ + AB
นับลิเทอรัล
L = 4
คำตอบ
L = 4
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: Q = 11
ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n
สถานะหลังทุกขอบ
1001 → 1100 → 1110 → 0111 → 1011
ค่าฐานสิบ
1011₂ = 11
คำตอบ
Q = 11
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: 6−1 mod 11 = 2
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย
เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·6 (mod 11)
r = 11, t = 0
r = 6, q = 1, t = 1
r = 5, q = 1, t = −1
r = 1, q = 5, t = 2
อินเวอร์ส
1 ≡ 2·6 (mod 11)
x = 2
ตรวจสอบ: 6·2 = 12 = 1·11 + 1
คำตอบ
6−1 mod 11 = 2
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: d = 91
เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n
มอดูลัสและโทเทียนต์
n = 13·17 = 221
φ(n) = 12·16 = 192
ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย
r = 192, t = 0
r = 19, q = 10, t = 1
r = 2, q = 9, t = −10
r = 1, q = 2, t = 91
เลขชี้กำลังส่วนตัว
d = 91
ตรวจสอบ: 19·91 = 1729 = 9·192 + 1
คำตอบ
d = 91
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: A · อัลกอริทึมของ Dijkstra
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ได้กับน้ำหนักที่ไม่เป็นลบ ส่วน Bellman–Ford รองรับน้ำหนักติดลบ และ Kruskal สร้างต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด
คำตอบ
A · อัลกอริทึมของ Dijkstra
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: D · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
"มีเส้นทางที่ยาวไม่เกิน k หรือไม่" เป็น NP-complete การหาเส้นทางที่สั้นที่สุดเป็น NP-hard เพราะยากอย่างน้อยเท่ากัน
คำตอบ
D · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: C · ทำให้โค้ดง่ายขึ้นโดยตัดกรณีพิเศษที่หัวหรือท้าย
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ด้วย sentinel ทุกโหนดจริงมีโหนดก่อนหน้า การแทรกหรือลบที่หัวจึงไม่ต้องจัดการพิเศษ
คำตอบ
C · ทำให้โค้ดง่ายขึ้นโดยตัดกรณีพิเศษที่หัวหรือท้าย
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: A · การจับกลุ่มปฐมภูมิ (primary clustering) ซึ่งช่องที่ถูกใช้ต่อกันเป็นสายยาว
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
Linear probing ก้าวทีละ 1 สายที่ถูกใช้จึงโตและรวมกัน ส่วน double hashing ใช้แฮชที่สองกำหนดขนาดก้าว คีย์ต่างกันจึงตรวจลำดับต่างกัน
คำตอบ
A · การจับกลุ่มปฐมภูมิ (primary clustering) ซึ่งช่องที่ถูกใช้ต่อกันเป็นสายยาว
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: L = 22
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้
L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22
คำตอบ
L = 22
ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: d(F) = 27
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น
A (0): B: 5, C: 1
C (1): B: 4, E: 13
B (4): D: 15
E (13)
D (15): F: 27
F (27)
เส้นทางที่สั้นที่สุด
A → C → B → D → F
d(F) = 27
คำตอบ
d(F) = 27
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: D · NULL
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
SUM, AVG, MIN และ MAX คืน NULL เมื่อเซตว่าง ส่วน COUNT คืน 0 COALESCE(SUM(amount), 0) ให้ 0 แทน
คำตอบ
D · NULL
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: C · X เป็นซูเปอร์คีย์
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
BCNF กำหนดให้ทุก determinant เป็นคีย์ผู้สมัคร (ซูเปอร์คีย์) ส่วน 3NF ยอมให้มีข้อยกเว้นเมื่อ Y เป็นส่วนหนึ่งของคีย์ผู้สมัคร
คำตอบ
C · X เป็นซูเปอร์คีย์
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: A · ให้อุปกรณ์จำนวนมากที่ใช้ที่อยู่ส่วนตัวใช้ที่อยู่ IP สาธารณะร่วมกันเพียงหนึ่งที่อยู่
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
NAT เขียนที่อยู่ (และพอร์ต) ใหม่เพื่อให้เครือข่ายส่วนตัวเข้าถึงอินเทอร์เน็ตผ่านที่อยู่สาธารณะจำนวนน้อยกว่า
คำตอบ
A · ให้อุปกรณ์จำนวนมากที่ใช้ที่อยู่ส่วนตัวใช้ที่อยู่ IP สาธารณะร่วมกันเพียงหนึ่งที่อยู่
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: D · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
BGP เป็นโพรโทคอลเลือกเส้นทางระหว่างโดเมน ระบบอิสระประกาศพรีฟิกซ์ที่เข้าถึงได้และเลือกเส้นทางตามนโยบาย
คำตอบ
D · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: H = 14
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
บิตที่ต้องยืม
24 = 16 ≥ 12 → b = 4, /28
โฮสต์ต่อซับเน็ต
24 − 2 = 14
คำตอบ
H = 14
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 71
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
23 = 8
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊65/8⌋·8 = 64
บรอดคาสต์: 64 + 8 − 1 = 71
โฮสต์ที่ใช้ได้: 65 … 70
คำตอบ
x = 71
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals