พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

รูปแบบ 8 บิต 1100 1000 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด

1100 10008 bit

N =

2.ระบบเลขยาก

ระบบต้องให้รหัสฐานสองความยาวเท่ากันแก่สิ่งของ 1284 ชิ้น ชิ้นละหนึ่งรหัส ต้องใช้อย่างน้อยกี่บิต b

1284

b = bit

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ r → q ให้คลิกสูตรนั้น

r → q

1q → r
2¬r → ¬q
3¬r ∨ q
4r ∨ ¬q

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x A(x) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x A(x)

1∃x A(x)
2∃x ¬A(x)
3∀x A(x)
4∀x ¬A(x)

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

ในแผนที่คาร์โนห์นี้มี 1 เพียงตัวเดียวพอดีที่ไม่มี 1 อยู่ติดกัน จึงยังเป็นกลุ่มหนึ่งเซลล์ (มินเทอมเต็มที่มีสี่ลิเทอรัล) ในรูป SOP ที่น้อยที่สุด เพื่อนบ้านข้ามขอบแผนที่นับด้วย ให้คลิกเซลล์นั้น

F = Σm(3, 6, 8, 9, 10, 11, 12)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

ฟลิปฟล็อป JK ที่ทริกเกอร์ขอบขาขึ้นเริ่มด้วย Q = 0 และได้รับอินพุตที่แสดงที่ขอบขาขึ้นของนาฬิกา 7 ขอบ Q เปลี่ยนสถานะกี่ครั้ง N

Q₀ = 0JK

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 17 มอดูโล 94: จำนวน x ที่ 0 < x < 94 และ 17·x ≡ 1 (mod 94)

a = 17n = 94

17⁻¹ mod 94 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

24x ≡ 12 (mod 90) มีกี่คำตอบ N ใน {0, 1, …, 89}

24x ≡ 12 (mod 90)

N =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดการโปรแกรมพลวัตจึงไม่ช่วยเร่ง merge sort ได้จริง

AMerge sort เป็น O(n) อยู่แล้ว
Bปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ
CMerge sort ไม่มีโครงสร้างแบบเรียกซ้ำ
Dการโปรแกรมพลวัตใช้ได้กับปัญหากราฟเท่านั้น ไม่ใช่กับอาร์เรย์

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้นทุนแบบกระจายของการเพิ่มค่าตัวนับฐานสองหนึ่งครั้งคือเท่าใด เมื่อการเพิ่มหนึ่งครั้งอาจพลิกหลายบิต

AO(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
BO(log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
CO(n log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
DO(n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

คิวถูกสร้างด้วยสแตกสองตัว: push ลงสแตก "in" และ pop จากสแตก "out" โดยเติมจาก "in" เมื่อว่าง ต้นทุนกระจายต่อการดำเนินการคือเท่าใด

AO(n²)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ heapsort ถูกต้อง

Aเสถียรและต้องใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
Bต้องใช้ binary search tree เป็นที่เก็บเพิ่มเติม จึงใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
Cทำงานใน O(n) กับอินพุตใด ๆ
Dเรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 7

1วงจรออยเลอร์
2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

14.ทฤษฎีกราฟยาก

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F

d(F) =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

คิวรีใดคืนเงินเดือนสูงสุดในแต่ละแผนก?

ASELECT MAX(dept), salary FROM emp GROUP BY salary
BSELECT dept, MAX(salary) FROM emp ORDER BY dept
CSELECT dept, salary FROM emp WHERE salary = MAX(salary)
DSELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

ตาราง b มีค่า 1, 2 และ NULL ในคอลัมน์ y SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b) คืนอะไร?

Aไม่มีแถวเลย
Bแถวของ a ที่ x ไม่ใช่ 1 หรือ 2
Cทุกแถวของ a
Dเฉพาะแถวของ a ที่ x เป็น NULL

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

HTTP เป็นแบบไม่เก็บสถานะ (stateless) เว็บไซต์มักทำให้ผู้ใช้ล็อกอินค้างอยู่ข้ามคำขอได้อย่างไร?

Aโดยเก็บรหัสผ่านใน URL
Bด้วยคุกกี้ที่เก็บตัวระบุเซสชันหรือโทเค็น
Cโดยให้ผู้ใช้แต่ละคนมีที่อยู่ IP คงที่
Dโดยเปิดการเชื่อมต่อ TCP ค้างไว้หลายวัน

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

การบล็อกหัวแถว (head-of-line blocking) ใน HTTP/2 บน TCP เกิดขึ้นเพราะ:

AHTTP/2 ใช้ UDP
Bแต่ละคำขอต้องใช้การเชื่อมต่อ TCP ใหม่ของตนเอง คำขอที่ตามมาจึงต้องรอในคิว
Cเซกเมนต์ TCP ที่สูญหายทำให้ทุกสตรีมที่มัลติเพล็กซ์ล่าช้าจนกว่าจะส่งซ้ำ
Dเซิร์ฟเวอร์รองรับคำขอแบบขนานไม่ได้

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 1000 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

1000 hosts

p =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 172.20.205.46/18 ออกเท็ตที่สาม x ของที่อยู่บรอดแคสต์ของซับเน็ตมันคือเท่าใด

172.20.205.46/18

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: N = −56

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บวกค่าประจำตำแหน่ง

บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ

−128 + 64 + 8 = −56

คำตอบ

N = −56

2.ระบบเลข

คำตอบ: b = 11 bit

กำลังของสอง

2¹⁰ = 1024 < 1284

2¹¹ = 2048 ≥ 1284

คำตอบ

b = 11

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬r ∨ q

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 ดังนั้นจึงเท่ากับ ¬a ∨ b

r → q ≡ ¬r ∨ q

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

q = 1, r = 0: 1 | 0 0 1 0

q = 0, r = 1: 0 | 1 1 0 1

q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

คำตอบ

¬r ∨ q

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x ¬A(x)

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x A(x) ≡ ∃x ¬A(x)

คำตอบ

∃x ¬A(x)

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: AB = 01, CD = 10

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

เพื่อนบ้านของแต่ละ 1

1 ที่มี 1 อยู่ติดกันเข้ากลุ่มสองเซลล์หรือมากกว่าได้

m6: m7, m4, m2, m14 → 0

1 ที่อยู่โดดเดี่ยว

m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10

คำตอบ

AB = 01, CD = 10

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 5

ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ f_clk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n

Q หลังทุกขอบ

ฟลิปฟล็อป JK: 00 คงค่า, 01 รีเซ็ต (Q = 0), 10 เซต (Q = 1), 11 สลับค่า

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 1, K = 1 → Q = 0

3: J = 0, K = 0 → Q = 0

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 0, K = 0 → Q = 1

6: J = 0, K = 1 → Q = 0

7: J = 1, K = 0 → Q = 1

นับการเปลี่ยน

0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1

N = 5

คำตอบ

N = 5

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 17⁻¹ mod 94 = 83

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·17 (mod 94)

r = 94, t = 0

r = 17, q = 5, t = 1

r = 9, q = 1, t = −5

r = 8, q = 1, t = 6

r = 1, q = 8, t = −11

อินเวอร์ส

1 ≡ −11·17 (mod 94)

x = 83

ตรวจสอบ: 17·83 = 1411 = 15·94 + 1

คำตอบ

17⁻¹ mod 94 = 83

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: N = 6

หารด้วย gcd

gcd(24, 90) = 6

4x ≡ 2 (mod 15)

แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว

4⁻¹ ≡ 4 (mod 15) → x ≡ 8 (mod 15)

คำตอบมอดูโล 90

x ∈ {8, 23, 38, 53, 68, 83}

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 3

จุดยอดคี่

A, B, C, E, F, G → 6

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 23

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 15, C: 15

B (15): D: 21, E: 20

C (15): E: 17

E (17): F: 23

D (21)

F (23)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

2⁹ − 2 = 510 < 1000

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 1000 → h = 10

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 10 = 22

คำตอบ

p = /22

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 255

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ขนาดบล็อกในออกเท็ตที่สาม

2⁶ = 64

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: 172.20.192.0

บรอดคาสต์: 172.20.255.255

คำตอบ

x = 255

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals