พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ระบบเลข

ค่าประจำตำแหน่ง: ฐานสอง 2^k, ฐานแปด 8^k, ฐานสิบหก 16^k
เป็นเลขฐานสิบ: Σ d_k·b^k
จากเลขฐานสิบ: หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง: เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
two’s complement: กลับบิตแล้วบวก 1

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

เกตพื้นฐาน: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
กฎของพีชคณิตแบบบูล: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
กฎของเดอมอร์แกน: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ลำดับของแผนที่คาร์โนห์: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์: สูญเสีย k ตัวแปร
มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
ฟลิปฟล็อป: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
ตัวนับ: n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
ตัวนับริปเปิล: f_max = 1/(n·t_pd)
ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน: n และ 2n สถานะ

วิธีการ

สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

การแบ่งซับเน็ต IPv4

โฮสต์ต่อซับเน็ต: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ขนาดบล็อก: 256 − (mask octet)
ที่อยู่เครือข่าย: IP AND มาสก์
ที่อยู่บรอดคาสต์: IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม: 2ⁿ

2โจทย์ฝึก

1.ระบบเลขปานกลาง

ตั้งบิตให้เก็บ −67 ใน two's complement 8 บิต อ่านเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมาย ค่าของรูปแบบ U เป็นเท่าใด

N = −678 bit

U =

2.ระบบเลขยาก

ภาพที่ไม่บีบอัดมีขนาด 256 × 256 พิกเซล และมี 24 บิตต่อพิกเซล ใช้หน่วยความจำ M เท่าใด ในหน่วย KiB (1 KiB = 1024 ไบต์)

256 × 256 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

(p ∧ q) → p เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ

(p ∧ q) → p

1ซ้ำซ้อน (tautology)
2ขัดแย้ง (contradiction)
3contingency

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ ((b ∧ ¬c) → a) ∨ ¬((a ∨ d) ∧ b) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

((b ∧ ¬c) → a) ∨ ¬((a ∨ d) ∧ b)

N =

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง

มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1 มีอินพุตเลือก S₁ = A และ S₀ = B และอินพุตข้อมูลต่อเข้ากับ I₀ = 0, I₁ = 1, I₂ = C′, I₃ = C′ จาก 8 ชุดของ A, B และ C มีกี่ชุดที่เอาต์พุต F = 1 จงหา N

I₀ = 0I₁ = 1I₂ = C′I₃ = C′

N =

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก

จงหารูป SOP ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 13) + d(2, 4, 15) โดย d แทนเงื่อนไขไม่สนใจ มีกี่พจน์ผลคูณ N

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 13) + d(2, 4, 15)

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(475) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 475 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 475

n = 475 = 5²·19

φ(475) =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

กุญแจ RSA ใช้ p = 17, q = 31 และ e = 17 จงถอดรหัสข้อความเข้ารหัส c = 420: หาข้อความ m

p = 17q = 31e = 17c = 420

m =

9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

quicksort ใช้สมาชิกตัวแรกเป็นตัวหลักเสมอ อินพุตแบบใดแสดงพฤติกรรมกรณีเลวร้ายที่สุดของมัน

Aอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
Bอาร์เรย์ที่สมาชิกทุกตัวต่างกัน
Cอาร์เรย์ที่เรียงแบบสุ่ม
Dอาร์เรย์ความยาว 2

10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส P ถูกต้อง

Aปัญหาที่แก้แบบขนานได้
Bปัญหาที่ตรวจคำตอบได้แต่ไม่เคยหาคำตอบได้ในเวลาพหุนาม
Cปัญหาที่ต้องใช้เวลาเอกซ์โพเนนเชียลบนคอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง
Dปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม

11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เหตุใดการท่องอาร์เรย์จึงเร็วกว่าการท่องลิงก์ลิสต์ที่ยาวเท่ากันมากในทางปฏิบัติ

Aสมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี
Bลิงก์ลิสต์เก็บสมาชิกบนดิสก์เสมอ
Cอาร์เรย์ใช้คำสั่งน้อยกว่าในการเปรียบเทียบค่า
Dการท่องอาร์เรย์เป็น O(1) โดยรวม ส่วนการท่องลิงก์ลิสต์เป็น O(n)

12.โครงสร้างข้อมูลยาก

segment tree มักใช้เพื่อ

Aเรียงสตริงตามตัวอักษรโดยเก็บแต่ละคำนำหน้าไว้ในโหนดต้นไม้แยกกัน
Bสร้างสแตก
Cเก็บเส้นเชื่อมของกราฟ
Dตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)

13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 33 × deg 43 × deg 5

L =

14.ทฤษฎีกราฟยาก

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 6|E| = 8

W =

15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง

GRANT SELECT ON employees TO alice ทำอะไร?

Aอนุญาตให้ alice แก้ไขและลบแถวในตาราง employees
Bคัดลอกตาราง employees ให้ alice
Cอนุญาตให้ผู้ใช้ alice อ่านตาราง employees
Dทำให้ alice เป็นเจ้าของฐานข้อมูล

16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก

หลัง customers LEFT JOIN orders เหตุใดจึงใช้ COUNT(o.id) แทน COUNT(*) เพื่อนับคำสั่งซื้อต่อลูกค้า?

ACOUNT(*) ไม่อนุญาตหลังการเชื่อม
BCOUNT(*) นับแถวที่เติม NULL เป็น 1 สำหรับลูกค้าที่ไม่มีคำสั่งซื้อ
CCOUNT(o.id) นับเฉพาะลูกค้าที่ไม่ซ้ำ
DCOUNT(*) ละเว้นแถวที่มีค่า NULL

17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง

อะไรระบุปลายด้านหนึ่งของการเชื่อมต่อ TCP บนอินเทอร์เน็ตได้อย่างไม่ซ้ำกัน?

Aที่อยู่ IP ร่วมกับหมายเลขพอร์ต
Bชื่อโดเมนเพียงอย่างเดียว
Cซับเน็ตมาสก์และเกตเวย์
Dที่อยู่ MAC เพียงอย่างเดียว

18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก

การแลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie-Hellman ทำได้อะไรด้วยตัวเอง และจุดอ่อนคืออะไร?

Aเข้ารหัสข้อมูลจำนวนมากโดยตรงผ่านช่องทางสาธารณะ แต่ช้าเกินไปสำหรับไฟล์ใหญ่และวิดีโอ
Bลงนามใบรับรองสำหรับเว็บไซต์ แต่ใช้ได้กับกุญแจสั้นเท่านั้น
Cพิสูจน์ตัวตนของผู้ใช้ทั้งสองด้วยรหัสผ่าน แต่ต้องมีเซิร์ฟเวอร์กลาง
Dตกลงความลับร่วมผ่านช่องทางสาธารณะ แต่โดยลำพังเปิดช่องให้ถูกโจมตีแบบคนกลาง

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง

แผนกหนึ่งต้องการที่อยู่โฮสต์ 1038 ที่อยู่ในซับเน็ตเดียว ความยาวพรีฟิกซ์ที่ยาวที่สุด p (ซับเน็ตเล็กที่สุด) ที่ใหญ่พอคือเท่าใด

1038 hosts

p =

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก

โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.92.214/25 ตัวเลขสุดท้าย (ออคเต็ตที่สี่) x ของที่อยู่บรอดคาสต์ของซับเน็ตคือเท่าใด

10.20.92.214/25

x =

3สารละลาย

1.ระบบเลข

คำตอบ: U = 189

การตั้งค่าบิต: แต่ละบิตมีค่าเป็นกำลังของสอง (128, 64, …, 1) เลขฐานสิบหกหนึ่งหลักคือสี่บิตพอดี และใน two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 การดำเนินการระดับบิตทำงานกับแต่ละตำแหน่งบิตแยกกัน

กลับบิตแล้วบวกหนึ่ง

67 = 0100 0011

ที่กลับบิตแล้ว: 1011 1100

+1 → 1011 1101

อ่านเป็นแบบไม่มีเครื่องหมาย

1011 1101₂ = 256 − 67 = 189

คำตอบ

U = 189

2.ระบบเลข

คำตอบ: M = 192 KiB

ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ

บิตและไบต์

256·256·24 = 1572864 bit = 196608 B

แปลงเป็น KiB

196608/1024 = 192 KiB

คำตอบ

M = 192 KiB

3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ซ้ำซ้อน (tautology)

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1: p ∧ q = 1, (p ∧ q) → p = 1

p = 1, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1

p = 0, q = 1: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1

p = 0, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1

จัดประเภท

(p ∧ q) → p: 1, 1, 1, 1

เป็น 1 ทุกแถว: tautology

คำตอบ

ซ้ำซ้อน (tautology)

4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 15

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

¬c; b ∧ ¬c; (b ∧ ¬c) → a; a ∨ d; (a ∨ d) ∧ b; ¬((a ∨ d) ∧ b); ((b ∧ ¬c) → a) ∨ ¬((a ∨ d) ∧ b)

แยกตาม a

a = 1: 8

a = 0: 7

N = 8 + 7 = 15

คำตอบ

N = 15

5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 4

มัลติเพล็กเซอร์: มัลติเพล็กเซอร์ 2ⁿ ต่อ 1 ส่งอินพุตข้อมูลหนึ่งตัวไปยังเอาต์พุต สายเลือก (select) เมื่ออ่านเป็นเลขฐานสองจะเลือกว่าตัวใด สำหรับ MUX 4 ต่อ 1 ที่สายเลือก S₁S₀ = AB จะได้ F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ การต่ออินพุตข้อมูลเข้ากับ 0, 1, C หรือ C′ ทำให้ MUX สร้างฟังก์ชันใดก็ได้ของ A, B และ C ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยในการสร้างตรรกะด้วยชิปตัวเดียว

นิพจน์เอาต์พุต

F = A′B + AB′C′ + ABC′

แถวที่ F = 1

ABC = 010, 011, 100, 110

N = 4

คำตอบ

N = 4

6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป

คำตอบ: N = 3

แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด

ไพรม์อิมพลิแคนต์

กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างได้จาก 1 และ X

BD, B′C′D′, A′

การครอบคลุมที่น้อยที่สุด

F = BD + B′C′D′ + A′

N = 3

คำตอบ

N = 3

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(475) = 360

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

475 = 5²·19

โทเทียนต์

φ(475) = φ(25)·φ(19) = 20·18 = 360

คำตอบ

φ(475) = 360

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: m = 199

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังส่วนตัว

n = 527, φ(n) = 480

d = 17⁻¹ mod 480 = 113

ถอดรหัสด้วยการยกกำลังสองซ้ำ

113 = 64 + 32 + 16 + 1

420¹ ≡ 420 (mod 527)

420² ≡ 382 (mod 527)

420⁴ ≡ 472 (mod 527)

420⁸ ≡ 390 (mod 527)

420¹⁶ ≡ 324 (mod 527)

420³² ≡ 103 (mod 527)

420⁶⁴ ≡ 69 (mod 527)

420¹¹³ ≡ 420·324·103·69 ≡ 199 (mod 527)

ข้อความ

m = 199

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 33 = 2(L + 8) − 2

L = 19

คำตอบ

L = 19

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

14.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 47

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BC (6): เลือก

EF (7): เลือก

CE (9): เลือก

D · ตกลงความลับร่วมผ่านช่องทางสาธารณะ แต่โดยลำพังเปิดช่องให้ถูกโจมตีแบบคนกลาง

19.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: p = 21

การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)

บิตโฮสต์ที่ต้องใช้

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1038

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1038 → h = 11

ความยาวพรีฟิกซ์

p = 32 − 11 = 21

คำตอบ

p = /21

20.การแบ่งซับเน็ต IPv4

คำตอบ: x = 255

ขนาดบล็อก

2⁷ = 128

ซับเน็ตของโฮสต์นี้

เครือข่าย: ⌊214/128⌋·128 = 128

บรอดคาสต์: 128 + 128 − 1 = 255

โฮสต์ที่ใช้ได้: 129 … 254

คำตอบ

x = 255

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals