ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
พื้นฐานวิทยาการคอมพิวเตอร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
- แถวของตารางค่าความจริง
- 2ⁿ
- นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- นิเสธของนัย
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- เงื่อนไขสองทาง
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- กฎของเดอมอร์แกน
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- กฎการแจกแจง
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
วิธีการ
- นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
- ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
- ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
- สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
- การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
- การหารที่มีเศษ
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ยูคลิด
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- ตัวคูณร่วมน้อย
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- อินเวอร์ส
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- ความสอดคล้องเชิงเส้น
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- แฟร์มา
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
วิธีการ
- ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
- สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
- สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
- แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
- สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ทฤษฎีกราฟ
- เล็มมาการจับมือ
- Σ deg(v) = 2|E|
- กราฟบริบูรณ์
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- กราฟปรกติ
- |E| = n·k/2
- ต้นไม้และป่า
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- ใบของต้นไม้
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- ออยเลอร์
- วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
- วงจรแฮมิลตันใน Kn
- (n − 1)!/2
- การปรับค่าของไดก์สตรา
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- วอล์กความยาว L
- (Mᴸ)ij
วิธีการ
- เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
- สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
- สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
- สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
- สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)
การแบ่งซับเน็ต IPv4
- โฮสต์ต่อซับเน็ต
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ขนาดบล็อก
- 256 − (mask octet)
- ที่อยู่เครือข่าย
- IP AND มาสก์
- ที่อยู่บรอดคาสต์
- IP OR (NOT mask): บิตโฮสต์ทั้งหมดเป็น 1
- ซับเน็ตจาก n บิตที่ยืม
- 2n
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
รูปแบบ 8 บิต 1101 0101 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด
1101 01018 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
จำนวนเต็มไม่มีเครื่องหมายที่มากที่สุด N ที่ใส่ได้ใน 32 บิตคือเท่าใด
32 bit
N =
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ p → q ให้คลิกสูตรนั้น
p → q
- 1¬p ∧ q
- 2p ∨ ¬q
- 3q → p
- 4¬p ∨ q
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x P(x) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น
¬∀x P(x)
- 1∀x P(x)
- 2∀x ¬P(x)
- 3∃x P(x)
- 4∃x ¬P(x)
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลคูณของผลบวก (POS) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 10, 14) มีกี่พจน์ผลบวก (ตัวประกอบ) N
F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 10, 14)
N =
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
สัญญาณนาฬิกา 12 kHz ขับตัวนับมอด-5 จงหาความถี่ fout ของเอาต์พุตที่มีนัยสำคัญสูงสุด ซึ่งครบหนึ่งรอบต่อหนึ่งรอบการนับ
fclk = 12 kHzN = 5
fout = kHz
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด x ที่ x ≡ 4 (mod 5) และ x ≡ 6 (mod 13)
x ≡ 4 (mod 5)x ≡ 6 (mod 13)
x =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
จงแก้ 10x ≡ 22 (mod 68) ให้คำตอบที่เป็นบวกและน้อยที่สุด x
10x ≡ 22 (mod 68)
x =
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง
การเรียกซ้ำของ merge sort สำหรับอาร์เรย์ n สมาชิกมีกี่ระดับ
- Aประมาณ log₂ n
- Bประมาณ n / 2
- Cประมาณ n
- Dประมาณ √n
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก
n! และ 2ⁿ เปรียบเทียบกันอย่างไรเมื่อ n มาก
- An! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
- Bn! เป็น O(n²)
- Cเติบโตในอัตราเดียวกัน
- D2ⁿ เติบโตเร็วกว่า n!
11.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง
เครือข่ายถนนมี 100,000 ทางแยก แต่ละแห่งเชื่อมกับประมาณ 4 แห่ง การแทนแบบใดเหมาะที่สุด
- Aเมทริกซ์ประชิด
- Bฮีปทวิภาคของเส้นเชื่อม
- Cอาร์เรย์เรียงลำดับเดียวของจุดยอด
- Dรายการประชิด
12.โครงสร้างข้อมูลยาก
กฎของต้นไม้แดง–ดำรับประกันอะไรเกี่ยวกับความสูงของต้นไม้ที่มี n คีย์
- Aความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
- Bความสูงไม่เกิน log2 n + 1
- Cความสูงเท่ากับ log2 n พอดี
- Dความสูงไม่เกิน n / 2
13.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
กราฟเชื่อมโยงมี 14 จุดยอดและ 14 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม
|V| = 14|E| = 14
k =
14.ทฤษฎีกราฟยาก
ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก
เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =
15.ฐานข้อมูลและ SQLปานกลาง
ข้อใดเกี่ยวกับ HAVING ถูกต้อง?
- Aใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้
- Bใช้เรียงลำดับผลลัพธ์
- Cใช้ร่วมกับ GROUP BY ไม่ได้
- Dต้องมาก่อน WHERE ในคำสั่ง SELECT
16.ฐานข้อมูลและ SQLยาก
มีดัชนีประกอบบน (last_name, first_name) เงื่อนไขใดใช้ดัชนีนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพที่สุด?
- AWHERE last_name = 'Jansen'
- BWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
- CWHERE first_name LIKE '%a'
- DWHERE first_name = 'Eva'
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ปานกลาง
เหตุใดสวิตช์บางครั้งจึงส่งเฟรมออกทุกพอร์ตยกเว้นพอร์ตที่เฟรมเข้ามา?
- Aเฟรมมีเช็กซัม IP ผิด และต้องให้ทุกโฮสต์ตรวจสอบ
- Bสวิตช์กำลังทำหน้าที่เป็นเราเตอร์
- Cเฟรมใหญ่เกินกว่าจะส่งออกพอร์ตเดียว
- Dที่อยู่ MAC ปลายทางยังไม่อยู่ในตารางที่อยู่ของมัน
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์ยาก
BGP ทำหน้าที่หลักอะไรบนอินเทอร์เน็ต?
- Aแลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
- Bเข้ารหัสข้อมูลระหว่างเราเตอร์
- Cกำหนดที่อยู่ IP ให้ผู้ใช้ตามบ้านผ่านผู้ให้บริการอินเทอร์เน็ตของตน
- Dแปลงชื่อเป็นที่อยู่
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4ปานกลาง
ซับเน็ตหนึ่งใช้มาสก์ 255.255.255.248 มีที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้กี่ที่อยู่ H
255.255.255.248
H =
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4ยาก
โฮสต์มีที่อยู่ 10.20.159.70/30 ออคเต็ตที่สี่ x ของที่อยู่โฮสต์ที่ใช้ได้สุดท้ายในซับเน็ตคือเท่าใด
10.20.159.70/30
x =
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: N = −43
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
บวกค่าประจำตำแหน่ง
บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ
−128 + 64 + 16 + 4 + 1 = −43
คำตอบ
N = −43
2.ระบบเลข
คำตอบ: N = 4.295 × 10⁹
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
ค่าที่มากที่สุด
232 − 1 = 4294967295
คำตอบ
N = 4294967295
3.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ¬p ∨ q
ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
กฎ
a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 ดังนั้นจึงเท่ากับ ¬a ∨ b
p → q ≡ ¬p ∨ q
ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง
p = 1, q = 1: 1 | 0 1 1 1
p = 1, q = 0: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 1: 1 | 1 0 0 1
p = 0, q = 0: 1 | 0 1 1 1
คำตอบ
¬p ∨ q
คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง
4.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์
คำตอบ: ∃x ¬P(x)
ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล
ย้ายนิเสธเข้าด้านใน
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)
คำตอบ
∃x ¬P(x)
ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด
5.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 5
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
จัดกลุ่ม 0
ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม
(C + D′)
(B + D′)
(A′ + D′)
(A′ + C)
(A + C′ + D)
รูป POS ที่น้อยที่สุด
F = (C + D′)(B + D′)(A′ + D′)(A′ + C)(A + C′ + D)
N = 5
คำตอบ
N = 5
6.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: fout = 2.4 kHz
ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n
การหารความถี่
fout = 12 kHz / 5 = 2.4 kHz
คำตอบ
fout = 2.4 kHz
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 19
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
ความสอดคล้องข้อแรก
x = 4 + 5k
ความสอดคล้องข้อที่สอง
4 + 5k ≡ 6 (mod 13) → 5k ≡ 2 (mod 13)
k ≡ 8·2 ≡ 3 (mod 13)
ผลลัพธ์
x = 4 + 5·3 = 19
x = 19
ตรวจสอบ: 19 mod 5 = 4, 19 mod 13 = 6
คำตอบ
x = 19
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์
คำตอบ: x = 9
ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)
หารด้วย gcd
gcd(10, 68) = 2
5x ≡ 11 (mod 34)
แก้ความสอดคล้องที่ลดรูปแล้ว
5−1 ≡ 7 (mod 34) → x ≡ 9 (mod 34)
คำตอบมอดูโล 68
x ∈ {9, 43}
x = 9
คำตอบ
x = 9
9.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: A · ประมาณ log₂ n
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การแบ่งครึ่งจาก n ลงถึง 1 ใช้ประมาณ log₂ n ระดับ และแต่ละระดับทำงานผสาน O(n) ได้ O(n log n)
คำตอบ
A · ประมาณ log₂ n
10.อัลกอริทึมและความซับซ้อน
คำตอบ: A · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
สำหรับ n ≥ 4 ค่า n! เกิน 2ⁿ และอัตราส่วนเติบโตไม่มีขอบเขต เพราะตัวคูณเพิ่มเติมแต่ละตัวของ n! ใหญ่กว่า 2
คำตอบ
A · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
11.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: D · รายการประชิด
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
เมทริกซ์ต้องใช้ 1010 ช่อง เกือบทั้งหมดว่าง รายการประชิดเก็บเพียงรายการเส้นเชื่อมราว 400,000 รายการ
คำตอบ
D · รายการประชิด
12.โครงสร้างข้อมูล
คำตอบ: A · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ทุกเส้นทางมีจำนวนโหนดดำเท่ากัน และโหนดแดงติดกันไม่ได้ เส้นทางที่ยาวที่สุดจึงไม่เกินสองเท่าของที่สั้นที่สุด ได้ความสูง O(log n)
คำตอบ
A · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
13.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: k = 1
ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น
เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม
14 − 1 = 13
เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก
k = 14 − 13 = 1
คำตอบ
k = 1
14.ทฤษฎีกราฟ
คำตอบ: d(F) = 16
เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม
ไดก์สตราทีละรอบ
แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น
A (0): B: 6
B (6): C: 18, D: 10, E: 15
D (10): F: 16
E (15)
F (16)
C (18)
เส้นทางที่สั้นที่สุด
A → B → D → F
d(F) = 16
คำตอบ
d(F) = 16
15.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: A · ใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
HAVING กรองกลุ่มหลังการรวมค่าและอ้างอิงฟังก์ชันรวมค่าได้ ส่วน WHERE ทำไม่ได้
คำตอบ
A · ใช้ฟังก์ชันรวมค่าเพื่อกรองกลุ่มได้
16.ฐานข้อมูลและ SQL
คำตอบ: A · WHERE last_name = 'Jansen'
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ดัชนี B-tree ประกอบเรียงตาม last_name แล้วจึง first_name การค้นหาด้วยคอลัมน์นำจึงใช้ได้ แต่ first_name เพียงอย่างเดียวใช้ลำดับนี้ไม่ได้
คำตอบ
A · WHERE last_name = 'Jansen'
17.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: D · ที่อยู่ MAC ปลายทางยังไม่อยู่ในตารางที่อยู่ของมัน
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
สำหรับที่อยู่ยูนิแคสต์ที่ไม่รู้จัก สวิตช์ flood เฟรม เมื่อปลายทางตอบกลับ สวิตช์เรียนรู้พอร์ตของมันจาก MAC ต้นทาง
คำตอบ
D · ที่อยู่ MAC ปลายทางยังไม่อยู่ในตารางที่อยู่ของมัน
18.เครือข่ายคอมพิวเตอร์
คำตอบ: A · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
BGP เป็นโพรโทคอลเลือกเส้นทางระหว่างโดเมน ระบบอิสระประกาศพรีฟิกซ์ที่เข้าถึงได้และเลือกเส้นทางตามนโยบาย
คำตอบ
A · แลกเปลี่ยนข้อมูลการกำหนดเส้นทางระหว่างระบบอิสระ (autonomous system)
19.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: H = 6
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
ความยาวพรีฟิกซ์
255.255.255.248 = /29
โฮสต์ที่ใช้ได้
23 − 2 = 6
คำตอบ
H = 6
20.การแบ่งซับเน็ต IPv4
คำตอบ: x = 70
การแบ่งซับเน็ต IPv4: ที่อยู่มี 32 บิต พรีฟิกซ์ /p บอกว่าบิตนำหน้ากี่บิตระบุเครือข่าย ส่วน 32 − p บิตที่เหลือใช้ระบุเลขโฮสต์ ซับเน็ตมี 2³²⁻ᵖ ที่อยู่ แต่ที่อยู่แรก (ที่อยู่เครือข่าย) และที่อยู่สุดท้าย (ที่อยู่บรอดคาสต์) ใช้เป็นโฮสต์ไม่ได้ จึงมีโฮสต์ได้ 2³²⁻ᵖ − 2 เครื่อง ข้อยกเว้น: /31 (ลิงก์แบบจุดต่อจุด, RFC 3021) ใช้ทั้ง 2 แอดเดรสสำหรับโฮสต์ และ /32 เป็นแอดเดรสเดียว (โฮสต์เดียวหรือลูปแบ็ก)
ขนาดบล็อก
22 = 4
ซับเน็ตของโฮสต์นี้
เครือข่าย: ⌊70/4⌋·4 = 68
บรอดคาสต์: 68 + 4 − 1 = 71
โฮสต์ที่ใช้ได้: 69 … 70
คำตอบ
x = 70
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals