วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ
รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
รากในครึ่งระนาบขวา
จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀
เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ
1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า
dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด
K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

  1. เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
  2. ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
  3. นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
  4. สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ
จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A
ess = A/(1 + Kp)
แรมป์ A·t
ess = A/Kv
พาราโบลา A·t²/2
ess = A/Ka
ตัวควบคุม PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
เป้าหมายอันดับสอง
s² + 2ζωns + ωn²
การเกินเลยและเวลา
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

วิธีการ

  1. นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
  2. คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: Kp สำหรับขั้น Kv สำหรับแรมป์ Ka สำหรับพาราโบลา
  3. ใช้ ess = A/(1 + Kp), A/Kv หรือ A/Ka หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
  4. สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)0.5?

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 12/(s² + 2s + 24) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 12/(s² + 2s + 24)
%OS = %
2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
+−5 VR = 134 ΩL = 500 mHC = 10 µFvC​

วงจร RLC อนุกรมที่มี R = 134 Ω, L = 500 mH และ C = 10 µF ต่อกับแหล่งกำเนิดขั้นบันได 5 V ที่ t = 0 ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุ และไม่มีกระแสไหลก่อนการเปลี่ยนขั้น จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ

R = 134 ΩL = 500 mHC = 10 µFV = 5 V
%OS = %
3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
vin​L = 2 mHC = 0.22 µFR = 50 Ωvout​

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 50 Ω โดย L = 2 mH และ C = 0.22 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q

R = 50 ΩL = 2 mHC = 0.22 µF
Q =
4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 82/(s(s + 3)(s + 6)) จงหาขอบอัตราขยาย GM ใน dB

L(s) = 82/(s(s + 3)(s + 6))
GM = dB
5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง
R(s)+841s(s + 1)(s + 6)C(s)−

วงในแผนภาพมีฟีดแบ็กลบและ L(s) = 84/(s(s + 1)(s + 6)) มีโพลวงปิดกี่ตัว N อยู่ในครึ่งระนาบขวา

L(s) = 84/(s(s + 1)(s + 6))
N =
6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก
ReIm−2−4j2j4

root locus ของ L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 4)) ถูกร่างไว้ จงหาความถี่ ω ที่โลคัสตัดแกนจินตภาพ

L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 4))
ω = rad/s
7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง
r(t) = 10·t²/2+5(s + 1)s²(s + 10)C(s)−

อินพุตพาราโบลา r(t) = 10·t²/2 ถูกป้อนเข้าวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = 5(s + 1)/(s²(s + 10)) จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว ess

G(s) = 5(s + 1)/(s²(s + 10))r(t) = 10·t²/2
ess =
8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก
R(s)+Kp​ + Ki​/s10s + 2C(s)−

ตัวควบคุม PI C(s) = Kp + Ki/s ขับโรงงาน G(s) = 10/(s + 2) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 6 rad/s และ ζ = 0.8 จงหาอัตราขยายอินทิกรัล Ki

G(s) = 10/(s + 2)ωₙ = 6 rad/sζ = 0.8
Ki =
9.แผนภาพบล็อกปานกลาง
R(s)+18K+1s + 6G(s)C(s)5H₁−−

พืช G(s) = 1/(s + 6) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 5 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 18 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาอัตราขยาย DC วงปิด T(0)

G(s) = 1/(s + 6)H₁ = 5K = 18
T(0) =
10.แผนภาพบล็อกยาก
R(s)+Ks(s + 6)(s + 9)G(s)C(s)−

พืช G(s) = K/(s(s + 6)(s + 9)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์หาอัตราขยายที่มากที่สุด Kmax ที่วงปิดยังเสถียร

G(s) = K/(s(s + 6)(s + 9))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย
Kmax =

3สารละลาย

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 51.94 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 24 → ωₙ = 4.899 rad/s
2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·4.899) = 0.2041

ผลลัพธ์

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−0.6551 = 51.94 %

คำตอบ

%OS = 51.94 %
2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 37.28 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.5·1 × 10⁻⁵) = 447.2 rad/s
ζ = (R/2)·√(C/L) = (134/2)·√(1 × 10⁻⁵/0.5) = 0.2996

ผลลัพธ์

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 37.28 %

คำตอบ

%OS = 37.28 %
3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: Q = 1.907

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.002·2.2 × 10⁻⁷) = 47673 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 7587 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

BW = R/L = 50/0.002 = 25000 rad/s = 3979 Hz
Q = ω₀/BW = 47673/25000 = 1.907

คำตอบ

Q = 1.907
4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: GM = 5.914 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดเฟส

(ω/3)·(ω/6) = 1 → ω180 = √(3·6) = 4.243 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 36)) = K/(3·6·(3 + 6)) = K/162

ขอบอัตราขยาย

GM = 20·log₁₀(162/82) = 5.914 dB

คำตอบ

GM = 5.914 dB
5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: N = 2

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s³ + 7s² + 6s + 84 = 0

ตารางเราท์

s³: 1, 6
s²: 7, 84
s¹: −6
s⁰: 84

การเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรก

1 → 7 → −6 → 84
N = 2

คำตอบ

N = 2

อัตราขยายสูงกว่าขีดจำกัด K = 42 ดังนั้นคู่เชิงซ้อนข้ามเข้าสู่ครึ่งระนาบขวาแล้ว

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 4.359 rad/s

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายวิกฤต

s³ + 8s² + 19s + 12 + K = 0
s¹: (8·19 − 12 − K)/8 = 0 → K = 140

ความถี่ที่ตัด

8s² + 12 + 140 = 8s² + 152 = 0 → s² = −19
ω = √19 = 4.359 rad/s

คำตอบ

ω = 4.359 rad/s
7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: ess = 20

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ess = lims→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) และ Ka = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ ess = A/(1 + Kp) แรมป์ A·t ให้ A/Kv และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/Ka วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร่ง

Ka = 5·1/10 = 0.5

ค่าความคลาดเคลื่อนของพาราโบลา

ess = 10/0.5 = 20

คำตอบ

ess = 20
8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: Ki = 3.6

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζωns + ωn² จากนั้น %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd โดย ωd = ωn√(1 − ζ²) และ ts ≈ 4/(ζωn)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 2)

s² + (2 + 10Kp)s + 10Ki

พหุนามเป้าหมาย

s² + 2·0.8·6s + 6² = s² + 9.6s + 36

จับคู่สัมประสิทธิ์

10Ki = 36 → Ki = 3.6

คำตอบ

Ki = 3.6

พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว

9.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.6207

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 1/(s + 6 + 1·5) = 1/(s + 11)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 18/(s + 11 + 18) = 18/(s + 29)

ผลลัพธ์

T(0) = 18/29 = 0.6207

คำตอบ

T(0) = 0.6207
10.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: Kmax = 810

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 15s² + 54s + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 54
s² | 15 K
s¹ | (15·54 − K)/15
s⁰ | K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

Kmax = 15·54 = 810

คำตอบ

Kmax = 810

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-2