วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ
รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
รากในครึ่งระนาบขวา
จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀
เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ
1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า
dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด
K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

  1. เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
  2. ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
  3. นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
  4. สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ
จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A
ess = A/(1 + Kp)
แรมป์ A·t
ess = A/Kv
พาราโบลา A·t²/2
ess = A/Ka
ตัวควบคุม PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
เป้าหมายอันดับสอง
s² + 2ζωns + ωn²
การเกินเลยและเวลา
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

วิธีการ

  1. นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
  2. คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: Kp สำหรับขั้น Kv สำหรับแรมป์ Ka สำหรับพาราโบลา
  3. ใช้ ess = A/(1 + Kp), A/Kv หรือ A/Ka หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
  4. สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)1ts​ = ?

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 20/(s² + 7s + 20) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ ts ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 20/(s² + 7s + 20)
ts = s
2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
k = 100 N/mc = 4 N·s/mm = 4 kgF = 20 Nx(t)

มวล m = 4 kg แขวนอยู่กับสปริง k = 100 N/m และตัวหน่วงแบบหนืด c = 4 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F) เริ่มจากหยุดนิ่งในสมดุล แล้วออกแรงคงที่ F = 20 N กะทันหัน หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 4 kgk = 100 N/mc = 4 N·s/mF = 20 N
ζ =
3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−20020406080ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ω = 30

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 47(s + 7)/(s(s + 1)) ที่ ω = 30 rad/s เป็นองศา

G(s) = 47(s + 7)/(s(s + 1))ω = 30 rad/s
∠G(jω) = °
4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 2)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω180 ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 2))
ω180 = rad/s
5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง
R(s)+Ks + 8(s − 3)(s + 2)C(s)−

โรงงาน G(s) = (s + 8)/((s − 3)(s + 2)) มีโพลไม่เสถียรที่ s = 3 อัตราขยายสัดส่วน K ปิดวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยรอบมัน จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด Kmin ที่ทำให้วงปิดเสถียร

G(s) = (s + 8)/((s − 3)(s + 2))
Kmin =
6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K(s + 5)/(s(s + 6)(s + 10)(s + 4)) จงหาจุด σa ที่เส้นกำกับของ root locus ตัดแกนจริง

L(s) = K(s + 5)/(s(s + 6)(s + 10)(s + 4))
σa =
7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง
r(t) = 0.5t+50(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

แรมป์ r(t) = 0.5t ถูกป้อนเข้าวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = 50(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)) จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว ess

G(s) = 50(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))r(t) = 0.5t
ess =
8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก
r(t) = 5t+5 + 2/s5(s + 1)(s + 4)C(s)−

ตัวควบคุม PI C(s) = 5 + 2/s ขับโรงงาน G(s) = 5/((s + 1)(s + 4)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว ess สำหรับอินพุตแรมป์ r(t) = 5t

C(s) = 5 + 2/sG(s) = 5/((s + 1)(s + 4))r(t) = 5t
ess =
9.แผนภาพบล็อกปานกลาง
R(s)+2(s + 1)(s + 4)(s + 6)G(s)C(s)−

วงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 2(s + 1)/((s + 4)(s + 6)) ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 2 ที่สัญญาณอ้างอิง จงหาค่าผิดพลาดสถานะคงตัว ess

G(s) = 2(s + 1)/((s + 4)(s + 6))R = 2
ess =
10.แผนภาพบล็อกยาก
R(s)+Kตัวควบคุม+D(s)+6s + 4พืชC(s)−

ตัวควบคุมสัดส่วน K ขับพืช G(s) = 6/(s + 4) ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันขั้นสิ่งรบกวนขนาด 2 เข้าที่อินพุตของพืชขณะที่ R = 0 จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด K ที่ทำให้เอาต์พุตสถานะคงตัวไม่เกิน 0.3

G(s) = 6/(s + 4)D = 2css ≤ 0.3
K =

3สารละลาย

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ts = 1.143 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 20 → ωₙ = 4.472 rad/s
2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·4.472) = 0.7826

ผลลัพธ์

ζωₙ = 3.5 → ts ≈ 4/3.5 = 1.143 s

คำตอบ

ts = 1.143 s
2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.1

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = √(k/m) = √(100/4) = 5 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 4/(2·√(100·4)) = 0.1

ผลลัพธ์

ζ = 0.1

คำตอบ

ζ = 0.1
3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −101.2 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(30/7) − 90° − atan(30/1) = 76.87° − 90° − 88.09°

ผลลัพธ์

∠G(j30) = −101.2°

คำตอบ

∠G(jω) = −101.2°
4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω180 = 1.414 rad/s

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดเฟส

(ω/1)·(ω/2) = 1 → ω180 = √(1·2) = 1.414 rad/s

คำตอบ

ω180 = 1.414 rad/s
5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: Kmin = 1

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

(s − 3)(s + 2) + K(s + 8) = s² + (-1 + K)s + (8K − 6)

เงื่อนไข

สำหรับ s² + c₁s + c₀ รากทั้งหมดอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายเมื่อ c₁ > 0 และ c₀ > 0 พอดี

-1 + K > 0 → K > 1
8K − 6 > 0 → K > 0.75
Kmin = 1

คำตอบ

Kmin = 1
6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: σa = −5

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

โพลและศูนย์

โพล: 0, −6, −10, −4
บิต 0: −5
n − m = 4 − 1 = 3

เซนทรอยด์

σa = (−20 − (−5))/3 = −5

คำตอบ

σa = −5

เส้นกำกับ 3 เส้นออกจากเซนทรอยด์ที่มุม 60°, 180°, 300°

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: ess = 0.01333

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ess = lims→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) และ Ka = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ ess = A/(1 + Kp) แรมป์ A·t ให้ A/Kv และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/Ka วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็ว

Kv = lim s·G(s) = 37.5

ค่าความคลาดเคลื่อนของแรมป์

ess = 0.5/37.5 = 0.01333

คำตอบ

ess = 0.01333
8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: ess = 2

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζωns + ωn² จากนั้น %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd โดย ωd = ωn√(1 − ζ²) และ ts ≈ 4/(ζωn)

ค่าคงที่ความเร็ว

s·C(s) = 5s + 2 → 2 เมื่อ s → 0

Kv = 2·5/4 = 2.5

ค่าความคลาดเคลื่อนของแรมป์

ess = 5/2.5 = 2

คำตอบ

ess = 2

ตัวควบคุม PI กำจัดค่าความคลาดเคลื่อนของขั้นได้หมด ส่วนแรมป์ถูกตามด้วยการล้าหลังคงที่

9.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: ess = 1.846

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)

ค่าคงที่ความผิดพลาดตำแหน่ง

Kₚ = G(0) = 2·1/(4·6) = 0.08333

ค่าผิดพลาดสถานะคงตัว

ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0.08333) = 1.846

คำตอบ

ess = 1.846
10.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 6

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)

ผลตอบสนองต่อสิ่งรบกวน

css = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 2·6/(4 + 6K)

แก้หา K

4 + 6K = 2·6/0.3 = 40
K = (40 − 4)/6 = 6

คำตอบ

K = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-2