วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 11/(s² + 2s + 22) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาความถี่ธรรมชาติ ω_n เป็น rad/s

G(s) = 11/(s² + 2s + 22)

ω_n = rad/s

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

มวล m = 4 kg แขวนอยู่กับสปริง k = 100 N/m และตัวหน่วงแบบหนืด c = 24 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F) เริ่มจากหยุดนิ่งในสมดุล แล้วออกแรงคงที่ F = 100 N กะทันหัน จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการกระจัด

m = 4 kgk = 100 N/mc = 24 N·s/mF = 100 N

%OS = %

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน RLที่แสดงมีR = 220 Ω, L = 47 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 150 Hz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 220 ΩL = 47 mHf = 150 Hz

φ = °

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 144/(s(s + 4)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 144/(s(s + 4))

PM = °

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 5)(s + 8)) อัตราขยายถูกเพิ่มจนวงปิดอยู่ที่ขอบของเสถียรภาพ จงหาความถี่ ω ของการสั่นที่คงอยู่

L(s) = K/(s(s + 5)(s + 8))

ω = rad/s

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

สำหรับวง L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้โพลวงปิดอยู่ที่ s = −2.5

L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10))s = −2.5

K =

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/((s + 2)(s + 5)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 20 % สำหรับอินพุตขั้น

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))e_ss = 20 %

K =

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PI C(s) = K_p + K_i/s ขับโรงงาน G(s) = 2/(s + 5) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 10 rad/s และ ζ = 0.8 จงหาอัตราขยายสัดส่วน K_p

G(s) = 2/(s + 5)ωₙ = 10 rad/sζ = 0.8

K_p =

9.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 14/(s + 7) ถูกควบคุมในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 0.25 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงปิด

G(s) = 14/(s + 7)H = 0.25

τ = s

10.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = K/((s + 2)(s + 5)(s + 6)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์หาอัตราขยายที่มากที่สุด K_max ที่วงปิดยังเสถียร

G(s) = K/((s + 2)(s + 5)(s + 6))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K_max =

3สารละลาย

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ω_n = 4.69 rad/s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 22 → ωₙ = 4.69 rad/s

2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·4.69) = 0.2132

ผลลัพธ์

ωₙ = 4.69 rad/s

คำตอบ

ω_n = 4.69 rad/s

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 9.478 %

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = √(k/m) = √(100/4) = 5 rad/s

ζ = c/(2√(km)) = 24/(2·√(100·4)) = 0.6

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 9.478 %

คำตอบ

%OS = 9.478 %

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = −11.38 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 220/0.047 = 4681 rad/s

f_c = 745 Hz → f/f_c = 150/745 = 0.2013

เฟส

φ = − atan(0.2013) = −11.38°

คำตอบ

φ = −11.38°

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 18.92 °

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 16ω² − 20736 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·20736))/2 = 136.2

ω_c = 11.67 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jω_c) = −90° − atan(11.67/4) = −161.1°

PM = 180° + ∠L = 18.92°

คำตอบ

PM = 18.92°

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 6.325 rad/s

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 13s² + 40s + K = 0

s³: 1, 40

s²: 13, K

s¹: (13·40 − K)/13

s⁰: K

อัตราขยายวิกฤต

K = 13·40 = 520

สมการช่วย

ที่อัตราขยายวิกฤตแถว s¹ เป็นศูนย์ แถว s² ให้โพลบนแกนจินตภาพ

13s² + 520 = 0 → s = ±j√40

ω = 6.325 rad/s

คำตอบ

ω = 6.325 rad/s

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 103.1

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

เงื่อนไขขนาด

K = |s|·|s + 8|·|s + 10|

ประเมินที่จุดนั้น

K = 2.5·5.5·7.5 = 103.1

คำตอบ

K = 103.1

ตรวจสอบ: s(s + 8)(s + 10) + K เป็นศูนย์ที่ s = −2.5

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 40

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ต้องการ

1/(1 + K_p) = 0.2 → K_p = 4

อัตราขยาย

K/10 = 4 → K = 40

คำตอบ

K = 40

ตรวจสอบเสถียรภาพวงปิดด้วย: สำหรับวงอันดับสองนี้ K > 0 ใด ๆ เสถียร

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_p = 5.5

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 5)

s² + (5 + 2K_p)s + 2K_i

พหุนามเป้าหมาย

s² + 2·0.8·10s + 10² = s² + 16s + 100

จับคู่สัมประสิทธิ์

5 + 2K_p = 16 → K_p = 5.5

คำตอบ

K_p = 5.5

พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว

9.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: τ = 0.09524 s

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = G/(1 + G·H) = 14/(s + 7 + 3.5) = 14/(s + 10.5)

ผลลัพธ์

τ = 1/10.5 = 0.09524 s

คำตอบ

τ = 0.09524 s

10.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K_max = 616

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 13s² + 52s + 60 + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 52

s² | 13 60 + K

s¹ | (13·52 − 60 − K)/13

s⁰ | 60 + K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K_max = 13·52 − 60 = 616

คำตอบ

K_max = 616

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-2