วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 19/(s² + 10s + 38) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 19/(s² + 10s + 38)

%OS = %

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 5)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 10 %

G(s) = K/(s(s + 5))%OS = 10 %

K =

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน RLที่แสดงมีR = 10 Ω, L = 10 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 640 Hz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 10 ΩL = 10 mHf = 640 Hz

φ = °

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ขอบอัตราขยาย 10 dB

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3))GM = 10 dB

K =

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6)) จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6))

K_max =

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6)(s + 8)) จงหาจุด σ_a ที่เส้นกำกับของ root locus ตัดแกนจริง

L(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6)(s + 8))

σ_a =

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

กระบวนการ G(s) = 1/(0.5s + 1) ถูกควบคุมด้วยอัตราขยายสัดส่วน K = 10 ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss สำหรับขั้น เป็นเปอร์เซ็นต์ของขนาดขั้น

G(s) = 1/(0.5s + 1)K = 10

e_ss = %

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 25 ขับโรงงาน G(s) = 1/(s(s + 2)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 1/(s(s + 2))K = 25

t_p = s

9.แผนภาพบล็อกปานกลาง

วงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 11(s + 7)/((s + 3)(s + 4)) ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 1 ที่สัญญาณอ้างอิง จงหาค่าผิดพลาดสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 11(s + 7)/((s + 3)(s + 4))R = 1

e_ss =

10.แผนภาพบล็อกยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 2 ขับพืช G(s) = 8/(s + 3) ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย สิ่งรบกวน D เข้าที่อินพุตของพืช (บวกเข้ากับเอาต์พุตของตัวควบคุม) เมื่อ R = 0 ป้อนฟังก์ชันขั้นสิ่งรบกวนขนาด 10 จงหาเอาต์พุตสถานะคงตัว c_ss

K = 2G(s) = 8/(s + 3)D = 10R = 0

c_ss =

3สารละลาย

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 1.282 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 38 → ωₙ = 6.164 rad/s

2ζωₙ = 10 → ζ = 10/(2·6.164) = 0.8111

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−4.357 = 1.282 %

คำตอบ

%OS = 1.282 %

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 17.88

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 5s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.1)/√(π² + ln²(0.1)) = 0.5912

อัตราขยาย

ωₙ = 5/(2ζ) = 4.229 rad/s

K = ωₙ² = 17.88

คำตอบ

K = 17.88

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = −76.03 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 10/0.01 = 1000 rad/s

f_c = 159.2 Hz → f/f_c = 640/159.2 = 4.021

เฟส

φ = − atan(4.021) = −76.03°

คำตอบ

φ = −76.03°

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: K = 3.795

จุดตัดเฟส

(ω/1)·(ω/3) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·3) = 1.732 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 9)) = K/(1·3·(1 + 3)) = K/12

อัตราขยายที่ต้องการ

12/K = 10^10/20 = 3.162

K = 12/3.162 = 3.795

คำตอบ

K = 3.795

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 240

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 10s² + 24s + K = 0

ตารางเราท์

s³: 1, 24

s²: 10, K

s¹: (10·24 − K)/10

s⁰: K

เงื่อนไข

ทุกช่องของคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K > 0

10·24 − K > 0 → K < 240

คำตอบ

K_max = 240

ที่ K = 240 วงปิดสั่นที่ ω = √24 = 4.899 rad/s

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: σ_a = −5.5

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

โพลและศูนย์

โพล: −3, −5, −6, −8

n − m = 4 − 0 = 4

เซนทรอยด์

σ_a = (−22)/4 = −5.5

คำตอบ

σ_a = −5.5

เส้นกำกับ 4 เส้นออกจากเซนทรอยด์ที่มุม 45°, 135°, 225°, 315°

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 9.091 %

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ตำแหน่ง

K_p = 10·1 = 10

ค่าความคลาดเคลื่อนของขั้น

e_ss = 100/(1 + 10) = 9.091 %

คำตอบ

e_ss = 9.091 %

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: t_p = 0.6413 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 2) + 25·1 = s² + 2s + 25

ωₙ และ ζ

ωₙ = √25 = 5 rad/s

ζ = 2/(2·5) = 0.2

เวลาถึงจุดสูงสุด

ω_d = 5·√(1 − 0.2²) = 4.899 rad/s

t_p = π/4.899 = 0.6413 s

คำตอบ

t_p = 0.6413 s

9.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: e_ss = 0.1348

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ค่าคงที่ความผิดพลาดตำแหน่ง

Kₚ = G(0) = 11·7/(3·4) = 6.417

ค่าผิดพลาดสถานะคงตัว

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 1/(1 + 6.417) = 0.1348

คำตอบ

e_ss = 0.1348

10.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: c_ss = 4.211

ฟังก์ชันถ่ายโอน

C/D = G/(1 + K·G) = 8/(s + 3 + 16)

สภาวะคงตัว

c_ss = 10·8/19 = 4.211

คำตอบ

c_ss = 4.211

K ที่มากขึ้นลดผลของสิ่งรบกวน แต่ไม่ถึงศูนย์ด้วยตัวควบคุมสัดส่วน

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-2