วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ
รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
รากในครึ่งระนาบขวา
จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀
เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ
1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า
dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด
K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

  1. เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
  2. ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
  3. นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
  4. สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ
จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A
ess = A/(1 + Kp)
แรมป์ A·t
ess = A/Kv
พาราโบลา A·t²/2
ess = A/Ka
ตัวควบคุม PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
เป้าหมายอันดับสอง
s² + 2ζωns + ωn²
การเกินเลยและเวลา
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

วิธีการ

  1. นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
  2. คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: Kp สำหรับขั้น Kv สำหรับแรมป์ Ka สำหรับพาราโบลา
  3. ใช้ ess = A/(1 + Kp), A/Kv หรือ A/Ka หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
  4. สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)2tp​ = ?

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 14/(s² + 4s + 7) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด tp ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 14/(s² + 4s + 7)
tp = s
2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
t (s)y(t)1tp​ = 0.25 s12 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของระบบอันดับสองที่ไม่มีศูนย์พุ่งเกิน 12 % และยอดแรกเกิดที่ t = 0.25 s จงหาความถี่ธรรมชาติ ωn

%OS = 12 %tp = 0.25 s
ωn = rad/s
3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
vin​L = 100 mHC = 0.22 µFR = 50 Ωvout​

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 50 Ω โดย L = 100 mH และ C = 0.22 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q

R = 50 ΩL = 100 mHC = 0.22 µF
Q =
4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 42/(s(s + 4)(s + 6)) จงหาขอบอัตราขยาย GM ใน dB

L(s) = 42/(s(s + 4)(s + 6))
GM = dB
5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง
R(s)+Ks + 1(s − 2)(s + 1)C(s)−

โรงงาน G(s) = (s + 1)/((s − 2)(s + 1)) มีโพลไม่เสถียรที่ s = 2 อัตราขยายสัดส่วน K ปิดวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยรอบมัน จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด Kmin ที่ทำให้วงปิดเสถียร

G(s) = (s + 1)/((s − 2)(s + 1))
Kmin =
6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก
ReIm−2−4−6−8−10−12j2−1.5

สำหรับวง L(s) = K/(s(s + 2)(s + 10)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้โพลวงปิดอยู่ที่ s = −1.5

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 10))s = −1.5
K =
7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง
R(s)+K = 452s + 1C(s)−

กระบวนการ G(s) = 5/(2s + 1) ถูกควบคุมด้วยอัตราขยายสัดส่วน K = 4 ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว ess สำหรับขั้น เป็นเปอร์เซ็นต์ของขนาดขั้น

G(s) = 5/(2s + 1)K = 4
ess = %
8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก
R(s)+Kp​ + Ki​/s2s + 2C(s)−

ตัวควบคุม PI C(s) = Kp + Ki/s ขับโรงงาน G(s) = 2/(s + 2) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 6 rad/s และ ζ = 0.8 จงหาอัตราขยายอินทิกรัล Ki

G(s) = 2/(s + 2)ωₙ = 6 rad/sζ = 0.8
Ki =
9.แผนภาพบล็อกปานกลาง
R(s)+3K+10s + 5G(s)C(s)4H₁−−

พืช G(s) = 10/(s + 5) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 4 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 3 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาอัตราขยาย DC วงปิด T(0)

G(s) = 10/(s + 5)H₁ = 4K = 3
T(0) =
10.แผนภาพบล็อกยาก
R(s)+Kตัวควบคุม+D(s)+5s + 2พืชC(s)−

ตัวควบคุมสัดส่วน K ขับพืช G(s) = 5/(s + 2) ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันขั้นสิ่งรบกวนขนาด 10 เข้าที่อินพุตของพืชขณะที่ R = 0 จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด K ที่ทำให้เอาต์พุตสถานะคงตัวไม่เกิน 0.5

G(s) = 5/(s + 2)D = 10css ≤ 0.5
K =

3สารละลาย

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: tp = 1.814 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 7 → ωₙ = 2.646 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·2.646) = 0.7559

ผลลัพธ์

ωd = 2.646·√(1 − 0.7559²) = 1.732 rad/s → tp = π/ωd = 1.814 s

คำตอบ

tp = 1.814 s
2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ωn = 15.16 rad/s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = −ln(0.12)/√(π² + ln²(0.12)) = 2.12/√(9.87 + 4.496) = 0.5594

ความถี่ธรรมชาติ

ωd = π/tp = π/0.25 = 12.57 rad/s
ωₙ = ωd/√(1 − ζ²) = 12.57/0.8289 = 15.16 rad/s

คำตอบ

ωn = 15.16 rad/s
3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: Q = 13.48

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·2.2 × 10⁻⁷) = 6742 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1073 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

BW = R/L = 50/0.1 = 500 rad/s = 79.58 Hz
Q = ω₀/BW = 6742/500 = 13.48

คำตอบ

Q = 13.48
4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: GM = 15.14 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดเฟส

(ω/4)·(ω/6) = 1 → ω180 = √(4·6) = 4.899 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 36)) = K/(4·6·(4 + 6)) = K/240

ขอบอัตราขยาย

GM = 20·log₁₀(240/42) = 15.14 dB

คำตอบ

GM = 15.14 dB
5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: Kmin = 2

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

(s − 2)(s + 1) + K(s + 1) = s² + (-1 + K)s + (1K − 2)

เงื่อนไข

สำหรับ s² + c₁s + c₀ รากทั้งหมดอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายเมื่อ c₁ > 0 และ c₀ > 0 พอดี

-1 + K > 0 → K > 1
1K − 2 > 0 → K > 2
Kmin = 2

คำตอบ

Kmin = 2
6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 6.375

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

เงื่อนไขขนาด

K = |s|·|s + 2|·|s + 10|

ประเมินที่จุดนั้น

K = 1.5·0.5·8.5 = 6.375

คำตอบ

K = 6.375

ตรวจสอบ: s(s + 2)(s + 10) + K เป็นศูนย์ที่ s = −1.5

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: ess = 4.762 %

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ess = lims→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) และ Ka = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ ess = A/(1 + Kp) แรมป์ A·t ให้ A/Kv และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/Ka วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ตำแหน่ง

Kp = 4·5 = 20

ค่าความคลาดเคลื่อนของขั้น

ess = 100/(1 + 20) = 4.762 %

คำตอบ

ess = 4.762 %
8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: Ki = 18

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζωns + ωn² จากนั้น %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd โดย ωd = ωn√(1 − ζ²) และ ts ≈ 4/(ζωn)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 2)

s² + (2 + 2Kp)s + 2Ki

พหุนามเป้าหมาย

s² + 2·0.8·6s + 6² = s² + 9.6s + 36

จับคู่สัมประสิทธิ์

2Ki = 36 → Ki = 18

คำตอบ

Ki = 18

พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว

9.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.4

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 10/(s + 5 + 10·4) = 10/(s + 45)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 30/(s + 45 + 30) = 30/(s + 75)

ผลลัพธ์

T(0) = 30/75 = 0.4

คำตอบ

T(0) = 0.4
10.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 19.6

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)

ผลตอบสนองต่อสิ่งรบกวน

css = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 10·5/(2 + 5K)

แก้หา K

2 + 5K = 10·5/0.5 = 100
K = (100 − 2)/5 = 19.6

คำตอบ

K = 19.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-2