วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 12/(s² + 5s + 24) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

G(s) = 12/(s² + 5s + 24)

ζ =

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 16)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 20 %

G(s) = K/(s(s + 16))%OS = 20 %

K =

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RLที่แสดงมีR = 220 Ω, L = 22 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 16 kHz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 220 ΩL = 22 mHf = 16 kHz

φ = °

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 38/(s(s + 10)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 38/(s(s + 10))

PM = °

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K(s + 5)/(s(s + 1)(s + 2)) โดย K > 0 จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K(s + 5)/(s(s + 1)(s + 2))

K_max =

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5)) ถูกร่างไว้ จงหาความถี่ ω ที่โลคัสตัดแกนจินตภาพ

L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5))

ω = rad/s

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

แรมป์ r(t) = 2t ถูกป้อนเข้าวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = 20(s + 1)/(s(s + 1)(s + 5)) จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 20(s + 1)/(s(s + 1)(s + 5))r(t) = 2t

e_ss =

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PD C(s) = 2 + K_d·s ขับโรงงาน G(s) = 2/(s(s + 1)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยายอนุพันธ์ K_d ที่ทำให้วงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.5

G(s) = 2/(s(s + 1))K_p = 2ζ = 0.5

K_d = s

9.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = K/(s(s + 7)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้วงปิดมีการหน่วงวิกฤต (โพลจริงเท่ากันสองตัว)

G(s) = K/(s(s + 7))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K =

10.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = 40/(s(s + 4)) อยู่ในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 2 โพลวงปิดเป็นจำนวนเชิงซ้อน จงหาส่วนจริง σ ของพวกมัน

G(s) = 40/(s(s + 4))H = 2

σ =

3สารละลาย

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.5103

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 24 → ωₙ = 4.899 rad/s

2ζωₙ = 5 → ζ = 5/(2·4.899) = 0.5103

ผลลัพธ์

ζ = 0.5103

คำตอบ

ζ = 0.5103

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 307.9

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 16s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.2)/√(π² + ln²(0.2)) = 0.4559

อัตราขยาย

ωₙ = 16/(2ζ) = 17.55 rad/s

K = ωₙ² = 307.9

คำตอบ

K = 307.9

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = 5.681 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 220/0.022 = 10000 rad/s

f_c = 1592 Hz → f/f_c = 16000/1592 = 10.05

เฟส

φ = 90° − atan(10.05) = 5.681°

คำตอบ

φ = 5.681°

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 70.31 °

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 100ω² − 1444 = 0

ω² = (−100 + √(10000 + 4·1444))/2 = 12.8

ω_c = 3.578 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jω_c) = −90° − atan(3.578/10) = −109.7°

PM = 180° + ∠L = 70.31°

คำตอบ

PM = 70.31°

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 3

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 1)(s + 2) + K(s + 5) = s³ + 3s² + (2 + K)s + 5K

ตารางเราท์

s³: 1, 2 + K

s²: 3, 5K

s¹: (3·(2 + K) − 5K)/3

s⁰: 5K

เงื่อนไข

6 − 2K > 0

K < 6/2 = 3

คำตอบ

K_max = 3

ถ้าศูนย์อยู่ทางขวาของ s = −3 วงจะคงเสถียรสำหรับทุก K > 0

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 4.796 rad/s

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายวิกฤต

s³ + 9s² + 23s + 15 + K = 0

s¹: (9·23 − 15 − K)/9 = 0 → K = 192

ความถี่ที่ตัด

9s² + 15 + 192 = 9s² + 207 = 0 → s² = −23

ω = √23 = 4.796 rad/s

คำตอบ

ω = 4.796 rad/s

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 0.5

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็ว

K_v = lim s·G(s) = 4

ค่าความคลาดเคลื่อนของแรมป์

e_ss = 2/4 = 0.5

คำตอบ

e_ss = 0.5

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_d = 0.5 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 1) + 2(2 + K_ds) = s² + (1 + 2K_d)s + 4

ความถี่ธรรมชาติ

ωₙ = √4 = 2 rad/s

อัตราขยายอนุพันธ์

1 + 2K_d = 2·0.5·2 = 2

K_d = 0.5 s

คำตอบ

K_d = 0.5 s

พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วงโดยไม่เปลี่ยน ωₙ

9.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 12.25

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

สมการลักษณะเฉพาะ

1 + K/(s(s + 7)) = 0 → s² + 7s + K = 0

รากซ้ำ

กำลังสอง s² + βs + γ มีรากซ้ำเมื่อ β² = 4γ

7² = 4K → K = 49/4 = 12.25

คำตอบ

K = 12.25

โพลวงปิดทั้งสองอยู่ที่ s = −3.5

10.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: σ = −2

สมการลักษณะเฉพาะ

s(s + 4) + 40·2 = 0 → s² + 4s + 80 = 0

ราก

s = −2 ± j·√(80 − 4) = −2 ± j8.718

σ = −2

คำตอบ

σ = −2

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-2