วิศวกรรมระบบควบคุม 2: การออกแบบการควบคุมแบบฟีดแบ็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 110/(s² + 4s + 55) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jω_d จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 110/(s² + 4s + 55)

σ =

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 195/(s(s + 12)) จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของลูปปิด โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 195/(s(s + 12))

t_s = s

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 26(s + 19)/(s(s + 1)) ที่ ω = 1 rad/s เป็นองศา

G(s) = 26(s + 19)/(s(s + 1))ω = 1 rad/s

∠G(jω) = °

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 1.1/(s(s + 1)) จงหาความถี่จุดตัดอัตราขยาย ω_c ที่ |L(jω)| = 1

L(s) = 1.1/(s(s + 1))

ω_c = rad/s

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพทำงานที่ K = 41.25 และ L(s) = K/(s(s + 5)(s + 6)) เพิ่มอัตราขยายได้กี่เท่า m ก่อนที่วงปิดจะไม่เสถียร

L(s) = K/(s(s + 5)(s + 6))K = 41.25

m =

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K(s + 1)/((s + 5)(s + 10)(s + 3)) จงหาจุด σ_a ที่เส้นกำกับของ root locus ตัดแกนจริง

L(s) = K(s + 1)/((s + 5)(s + 10)(s + 3))

σ_a =

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = K/(s(s + 1)) ต้องตามแรมป์ r(t) = 10t ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 0.01 จงหาอัตราขยาย K

G(s) = K/(s(s + 1))r(t) = 10te_ss = 0.01

K =

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K ขับโรงงาน G(s) = 5/(s(s + 6)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้วงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.4

G(s) = 5/(s(s + 6))ζ = 0.4

K =

9.แผนภาพบล็อกปานกลาง

วงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 10(s + 2)/((s + 3)(s + 5)) ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 2 ที่สัญญาณอ้างอิง จงหาค่าผิดพลาดสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 10(s + 2)/((s + 3)(s + 5))R = 2

e_ss =

10.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = 60/(s(s + 7)) อยู่ในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 1 โพลวงปิดเป็นจำนวนเชิงซ้อน จงหาส่วนจินตภาพ ω_d ของพวกมัน (ค่าบวก) ใน rad/s

G(s) = 60/(s(s + 7))H = 1

ω_d = rad/s

3สารละลาย

1.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −2

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 55 → ωₙ = 7.416 rad/s

2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·7.416) = 0.2697

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −4/2 = −2

คำตอบ

σ = −2

2.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 0.6667 s

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = 195/(s² + 12s + 195): ωₙ = 13.96 rad/s, ζ = 0.4297

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 12/2 = 6

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 0.6667 s

คำตอบ

t_s = 0.6667 s

สำหรับลูปนี้ ζωₙ = a/2 ไม่ว่า K จะเป็นเท่าใด การเพิ่ม K ทำให้พุ่งเกินมากขึ้นแต่ไม่ทำให้เวลาเข้าสู่ค่าคงตัวสั้นลง

3.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −132 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(1/19) − 90° − atan(1/1) = 3.013° − 90° − 45°

ผลลัพธ์

∠G(j1) = −132°

คำตอบ

∠G(jω) = −132°

4.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω_c = 0.8416 rad/s

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 1ω² − 1.21 = 0

ω² = (−1 + √(1 + 4·1.21))/2 = 0.7083

ω_c = 0.8416 rad/s

คำตอบ

ω_c = 0.8416 rad/s

5.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: m = 8

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 11s² + 30s + K = 0

s³: 1, 30

s²: 11, K

s¹: (11·30 − K)/11

s⁰: K

อัตราขยายสูงสุดที่เสถียร

K_max = 11·30 = 330

ตัวประกอบ

m = 330/41.25 = 8

คำตอบ

m = 8

ตัวประกอบนี้คือขอบอัตราขยายเป็นอัตราส่วน: 18.06 dB

6.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: σ_a = −8.5

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

โพลและศูนย์

โพล: −5, −10, −3

บิต 0: −1

n − m = 3 − 1 = 2

เซนทรอยด์

σ_a = (−18 − (−1))/2 = −8.5

คำตอบ

σ_a = −8.5

เส้นกำกับ 2 เส้นออกจากเซนทรอยด์ที่มุม 90°, 270°

7.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 1000

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็วที่ต้องการ

K_v = A/e_ss = 10/0.01 = 1000

อัตราขยาย

K = 1·K_v = 1000

คำตอบ

K = 1000

อัตราขยายที่มากทำให้วงนี้หน่วงน้อยมาก: ζ = 0.01581 ความขัดแย้งนั้นคือเหตุผลที่ใช้ตัวชดเชย

8.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 11.25

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 6) + 5K = s² + 6s + 5K

ความถี่ธรรมชาติ

2·0.4·ωₙ = 6 → ωₙ = 7.5 rad/s

อัตราขยาย

5K = ωₙ² = 56.25 → K = 11.25

คำตอบ

K = 11.25

9.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: e_ss = 0.8571

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ค่าคงที่ความผิดพลาดตำแหน่ง

Kₚ = G(0) = 10·2/(3·5) = 1.333

ค่าผิดพลาดสถานะคงตัว

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 1.333) = 0.8571

คำตอบ

e_ss = 0.8571

10.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: ω_d = 6.91 rad/s

สมการลักษณะเฉพาะ

s(s + 7) + 60·1 = 0 → s² + 7s + 60 = 0

ราก

s = −3.5 ± j·√(60 − 12.25) = −3.5 ± j6.91

ω_d = 6.91 rad/s

คำตอบ

ω_d = 6.91 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-2