โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

quicksort ใช้สมาชิกตัวแรกเป็นตัวหลักเสมอ อินพุตแบบใดแสดงพฤติกรรมกรณีเลวร้ายที่สุดของมัน

  1. Aอาร์เรย์ความยาว 2
  2. Bอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
  3. Cอาร์เรย์ที่สมาชิกทุกตัวต่างกัน
  4. Dอาร์เรย์ที่เรียงแบบสุ่ม
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับสัญกรณ์ little-o ถูกต้อง

  1. A2n = o(n) เพราะ 2n เติบโตช้า
  2. Bn = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
  3. Cn = o(n) เพราะทุกฟังก์ชันเป็น little-o ของตัวมันเอง
  4. Dn² = o(n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

สมาชิกใหม่ถูกแทรกลงในฮีปทวิภาคอย่างไร

  1. Aวางที่รากและเลื่อนลง
  2. Bวางที่ท้ายอาร์เรย์และเลื่อนขึ้น (sift up) ตราบที่ยังละเมิดคุณสมบัติฮีป
  3. Cสร้างฮีปใหม่ทั้งหมดตั้งแต่ต้น
  4. Dแทรกที่ตำแหน่งตามลำดับโดยเลื่อนสมาชิกที่ใหญ่กว่าทั้งหมดไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

สำหรับแต่ละสมาชิกของอาร์เรย์ คุณต้องการสมาชิกที่ใหญ่กว่าถัดไปทางขวา ในเวลารวม O(n) โครงสร้างใดช่วยได้

  1. Abinary search tree ที่สร้างใหม่สำหรับแต่ละสมาชิก
  2. Bสแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
  3. Cคิวที่เก็บทุกคู่ของสมาชิก
  4. Dตารางแฮชของสมาชิกทั้งหมด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K5 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K5
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กปิดความยาว 3 ที่เริ่มและจบที่ E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

บนอินพุตที่เรียงแล้ว ตัวหลักเป็นค่าต่ำสุดเสมอ ฝั่งหนึ่งว่างและอีกฝั่งมี n − 1 ตัว ได้ O(n²)

คำตอบ

B · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

f = o(g) หมายความว่า f(n) / g(n) เข้าใกล้ 0 โดย n / n² เข้าใกล้ 0 แต่ n / n = 1 ไม่เข้าใกล้ 0

คำตอบ

B · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · วางที่ท้ายอาร์เรย์และเลื่อนขึ้น (sift up) ตราบที่ยังละเมิดคุณสมบัติฮีป

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเพิ่มที่ท้ายรักษาต้นไม้ให้สมบูรณ์ การสลับกับแม่คืนลำดับใน O(log n) ขั้นตอน

คำตอบ

B · วางที่ท้ายอาร์เรย์และเลื่อนขึ้น (sift up) ตราบที่ยังละเมิดคุณสมบัติฮีป
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สแกนจากซ้ายไปขวา pop ทุกสมาชิกบนสแตกที่เล็กกว่าตัวปัจจุบัน (ตัวปัจจุบันคือคำตอบของพวกมัน) แล้ว push ตัวปัจจุบัน แต่ละสมาชิกเคลื่อนไม่เกินสองครั้ง

คำตอบ

B · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 6

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)EE = 2·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 + 4·0 + 1·1 = 6

คำตอบ

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms