โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ฟังก์ชันหนึ่งรันลูป n รอบ แล้วรันอีกลูป n รอบแยกต่างหาก ความซับซ้อนเชิงเวลาของมันคือเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส NP ถูกต้อง

  1. Aปัญหาที่ไม่ใช่พหุนาม
  2. Bปัญหาที่ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้
  3. Cปัญหาที่แก้ในเวลาพหุนามไม่ได้
  4. Dปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ใน min-heap ทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์ (ดัชนีเริ่มที่ 0) ลูกของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่

  1. Ai + 1 และ i + 2
  2. Bi/2 และ i/2 + 1
  3. C2i และ 2i + 1
  4. D2i + 1 และ 2i + 2
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

วัตถุถูกเก็บเป็นคีย์ใน hash map จากนั้นฟิลด์ที่ฟังก์ชันแฮชใช้ถูกเปลี่ยน ผลลัพธ์ที่น่าจะเกิดคืออะไร

  1. Amap ย้ายคีย์ไปถังใหม่โดยอัตโนมัติ
  2. Bmap โยนข้อผิดพลาดทันทีที่ฟิลด์เปลี่ยน
  3. Cการค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
  4. Dไม่มีอะไรเปลี่ยน เพราะแฮชของคีย์คำนวณเพียงครั้งเดียวตอนโปรแกรมเริ่มทำงาน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 8
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
12121410913141ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

n + n = 2n และตัดตัวคูณคงที่ทิ้ง ฟังก์ชันนี้จึงเป็น O(n)

คำตอบ

C · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับปัญหา NP คำตอบที่เสนอ (ใบรับรอง) ตรวจได้อย่างรวดเร็ว เช่น การตรวจว่าการกำหนดค่าที่ให้มาทำให้สูตรบูลีนเป็นจริง

คำตอบ

D · ปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · 2i + 1 และ 2i + 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับอาร์เรย์ที่เริ่มที่ 0 ลูกซ้ายอยู่ที่ 2i + 1 ลูกขวาที่ 2i + 2 และแม่ที่ ⌊(i − 1)/2⌋

คำตอบ

D · 2i + 1 และ 2i + 2
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตำแหน่งของคีย์เลือกจากแฮชเก่า เมื่อแฮชใหม่ การค้นหาจะดูผิดถัง คีย์จึงควรเปลี่ยนแปลงไม่ได้ (immutable)

คำตอบ

C · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 4

จุดยอดคี่

A, F → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 23

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 12, C: 12
B (12): G: 25
C (12): E: 26, G: 13
G (13): D: 17, E: 14
E (14): F: 23
D (17)
F (23)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → G → E → F
d(F) = 23

คำตอบ

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms