โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลแบบเรียกซ้ำง่าย ๆ fact(n) = n × fact(n − 1) ใช้พื้นที่สแต็กเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ทฤษฎีบท Cook–Levin พิสูจน์สิ่งใด

  1. Aปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้
  2. BP ไม่เท่ากับ NP
  3. Cปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
  4. Dทุกปัญหา NP แก้ได้ในเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โหนดใน binary search tree มีต้นไม้ย่อยขวา in-order successor ของมันอยู่ที่ใด

  1. Aแม่ของมันเสมอ
  2. Bลูกขวาของมันเสมอ
  3. Cโหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
  4. Dโหนดขวาสุดของต้นไม้ย่อยซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ decrease-key ในฮีปทวิภาค (เมื่อทราบตำแหน่งของสมาชิก) คือ

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 2 จุดยอดดีกรี 4 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 32 × deg 4
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4691114899ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเรียกซ้ำลึก n ชั้นก่อนจะมีการคืนค่าใด ๆ และแต่ละการเรียกต้องมีเฟรมสแต็ก จึงใช้พื้นที่ O(n)

คำตอบ

A · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Cook และ Levin แสดงโดยอิสระต่อกันว่าทุกปัญหาใน NP ลดรูปมาเป็น SAT ในเวลาพหุนาม SAT จึงเป็นปัญหา NP-complete ข้อแรกที่รู้จัก

คำตอบ

C · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์ที่ใหญ่กว่าที่อยู่ใกล้โหนดอยู่ในต้นไม้ย่อยขวา และตัวที่เล็กที่สุดคือโหนดซ้ายสุดที่นั่น

คำตอบ

C · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หลังลดคีย์ สมาชิกเลื่อนขึ้นไม่เกินความสูงของฮีป ฮีปฟีโบนักชีทำ decrease-key แบบกระจายต้นทุนได้ใน O(1)

คำตอบ

C · O(log n)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 10

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

คำตอบ

L = 10

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 4, C: 6
2. B (4): D: 15, E: 13
3. C (6)
4. E (13)
5. D (15): F: 24
6. F (24)

รอบ 5

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms