โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การวิเคราะห์แบบกระจายต้นทุน (amortised analysis) วัดสิ่งใด

  1. Aต้นทุนคาดหมายเหนืออินพุตสุ่ม
  2. Bต้นทุนของอัลกอริทึมบนอินพุตที่ดีที่สุด
  3. Cต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด
  4. Dต้นทุนของการดำเนินการเดียวที่แพงที่สุดในลำดับการดำเนินการ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับสัญกรณ์ little-o ถูกต้อง

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n) เพราะทุกฟังก์ชันเป็น little-o ของตัวมันเอง
  3. Cn = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
  4. D2n = o(n) เพราะ 2n เติบโตช้า
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของการค้นหาคีย์ใน binary search tree ที่สมดุลคือเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

อัลกอริทึมของ Kahn สำหรับการเรียงทอพอโลยีลบจุดยอดที่มี in-degree 0 ซ้ำ ๆ โครงสร้างใดเก็บจุดยอดเหล่านั้น

  1. Aสแตกของเส้นเชื่อมที่เยี่ยมทั้งหมด
  2. Bคิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
  3. Cเมทริกซ์ประชิดที่บันทึกว่าจุดยอดใดถูกลบไปแล้ว
  4. Dmax-heap เรียงตาม out-degree
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 5
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
171310116156ABCDE

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด E ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 3

เริ่มต้น: Ek = 3
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การวิเคราะห์แบบกระจายต้นทุนกระจายต้นทุนของการดำเนินการแพงที่เกิดนาน ๆ ครั้งไปยังการดำเนินการถูกจำนวนมาก ให้ค่าเฉลี่ยที่รับประกันสำหรับลำดับใด ๆ

คำตอบ

C · ต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

f = o(g) หมายความว่า f(n) / g(n) เข้าใกล้ 0 โดย n / n² เข้าใกล้ 0 แต่ n / n = 1 ไม่เข้าใกล้ 0

คำตอบ

C · n = o(n²) แต่ n ไม่ใช่ o(n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ต้นไม้สมดุลมีความสูงประมาณ log₂ n การค้นหาจึงตามหนึ่งเส้นทางจากรากถึงใบ

คำตอบ

D · O(log n)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จุดยอดที่พร้อมถูกเก็บในคิว การลบหนึ่งจุดลด in-degree ของข้างเคียง และตัวที่ถึง 0 ถูกเพิ่ม ได้เวลา O(V + E)

คำตอบ

B · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

A, B → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม BC

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. BE (6)
2. BD (1)
3. BC (10)
4. AC (13)

เส้นเชื่อมหมายเลข 3

BC

คำตอบ

เส้นเชื่อม BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms