โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การค้นหาแบบทวิภาคต้องเปรียบเทียบประมาณกี่ครั้งในกรณีเลวร้ายที่สุดบนอาร์เรย์ที่เรียงแล้วซึ่งมี 1,000,000 สมาชิก

  1. Aประมาณ 100
  2. Bประมาณ 1,000
  3. Cประมาณ 20
  4. Dประมาณ 500,000
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เวลาทำงานของอัลกอริทึมของ Dijkstra ที่ใช้ฮีปไบนารีบนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³)
  4. DO((V + E) log V)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เมทริกซ์ประชิด (adjacency matrix) ของกราฟที่มี V จุดยอดใช้หน่วยความจำเท่าใด

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การแทรกคีย์ในต้นไม้ AVL ทำให้ต้นไม้ย่อยซ้ายของโหนดสูงเกินไป และคีย์ใหม่อยู่ในต้นไม้ย่อยซ้ายของลูกซ้าย (กรณีซ้าย–ซ้าย) ใช้วิธีแก้ใด

  1. Aเปลี่ยนสีโหนดและลูกของมัน
  2. Bหมุนซ้ายหนึ่งครั้งที่โหนดที่ไม่สมดุล
  3. Cหมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนดที่ไม่สมดุล
  4. Dหมุนซ้ายที่ลูก แล้วหมุนขวาที่โหนด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
13220317141116ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด C ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4

เริ่มต้น: Ck = 4
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม BC
  3. 3เส้นเชื่อม BD
  4. 4เส้นเชื่อม CE
  5. 5เส้นเชื่อม EF
  6. 6เส้นเชื่อม GB
  7. 7เส้นเชื่อม GC
  8. 8เส้นเชื่อม GD
  9. 9เส้นเชื่อม GE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ประมาณ 20

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

220 ≈ 1,048,576 ดังนั้นหลังแบ่งครึ่งประมาณ 20 ครั้งจะเหลือสมาชิกเพียงตัวเดียว

คำตอบ

C · ประมาณ 20
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O((V + E) log V)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี extract-min V ครั้งและ decrease-key ได้ถึง E ครั้ง แต่ละครั้ง O(log V) ฮีปฟีโบนักชีปรับให้ดีขึ้นเป็น O(E + V log V)

คำตอบ

D · O((V + E) log V)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · O(V²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ประชิดเก็บ V × V ช่อง มีประสิทธิภาพสำหรับกราฟหนาแน่น ส่วนรายการประชิดใช้ O(V + E) ดีกว่าสำหรับกราฟเบาบาง

คำตอบ

B · O(V²)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · หมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนดที่ไม่สมดุล

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในกรณีซ้าย–ซ้าย การหมุนขวาหนึ่งครั้งยกลูกซ้ายขึ้นและคืนสมดุล กรณีซิกแซกต้องหมุนสองครั้ง

คำตอบ

C · หมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนดที่ไม่สมดุล
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม GD

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. BC (2)
2. GB (1)
3. CE (3)
4. GD (11)
5. AB (13)
6. EF (17)

เส้นเชื่อมหมายเลข 4

GD

คำตอบ

เส้นเชื่อม GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms