โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของการคำนวณจำนวนฟีโบนักชีตัวที่ n ด้วยตารางแบบล่างขึ้นบนคือเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

โดยใช้ทฤษฎีบทหลัก T(n) = 8T(n/2) + O(n²) มีผลเฉลยเป็น

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n² log n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์เต็ม (perfect binary tree) ที่มีความสูง h มีกี่โหนด เมื่อความสูงนับเป็นเส้นเชื่อม

  1. Ah2
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. D2h+1 − 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ต้นไม้แดง–ดำ (red-black tree) ต้องมีคุณสมบัติใด

  1. Aทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน
  2. Bโหนดสีแดงทุกโหนดต้องมีลูกสีแดง โหนดสีแดงจึงต่อเป็นสายไม่ขาดตอนไปจนถึงใบ
  3. Cรากต้องเป็นสีแดง
  4. Dทุกโหนดต้องเป็นสีแดง
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 5
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
12211541515122ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 4 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเติมตารางจาก 0 ถึง n ใช้การบวกหนึ่งครั้งต่อช่อง งานจึงเป็นเชิงเส้นแทนที่จะเป็นเอกซ์โพเนนเชียล

คำตอบ

B · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · Θ(n³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

log₂ 8 = 3 และ n² เติบโตช้ากว่า n³ ใบจึงครอบงำ: Θ(n³)

คำตอบ

B · Θ(n³)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · 2h+1 − 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การรวม 1 + 2 + 4 + ... + 2h ได้ 2h+1 − 1 เช่น ความสูง 2 ได้ 7 โหนด

คำตอบ

D · 2h+1 − 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

กฎของแดง–ดำ: โหนดเป็นสีแดงหรือดำ รากเป็นสีดำ โหนดสีแดงมีลูกสีดำ และทุกเส้นทางมี black-height เท่ากัน ทำให้ความสูง ≤ 2 log₂(n + 1)

คำตอบ

A · ทุกเส้นทางจากโหนดไปยังใบของลูกหลานมีจำนวนโหนดสีดำเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

คำตอบ

L = 8

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: G

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 12, C: 2
2. C (2): E: 7, G: 17
3. E (7): G: 9
4. G (9): D: 21
5. B (12)
6. D (21): F: 25
7. F (25)

รอบ 4

G

คำตอบ

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms