โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(n) มีผลเฉลยเป็น

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) ทำงาน O(1) คือเท่าใด

  1. AO(n √n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

นิพจน์ postfix 3 4 + 2 * มีค่าเท่าใด

  1. A14
  2. B10
  3. C24
  4. D11
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

splay tree ทำอะไรหลังการเข้าถึงแต่ละครั้ง

  1. Aเปลี่ยนสีโหนดตามเส้นทางการค้นหา
  2. Bหมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
  3. Cย้ายโหนดที่เข้าถึงไปเป็นใบ
  4. Dสร้างต้นไม้ใหม่ทั้งหมดให้สมดุล
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 2 จุดยอดดีกรี 4, 2 จุดยอดดีกรี 5, 2 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 32 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
247121415111ABCDEF

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 6|E| = 8
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โดยทฤษฎีบทหลัก (a = 2, b = 2, f(n) = n) ได้ T(n) = Θ(n log n)

คำตอบ

B · O(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ผลรวมคือ n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn และจำนวนฮาร์มอนิก Hn เป็น Θ(log n)

คำตอบ

C · O(n log n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · 14

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

push 3 และ 4, + ได้ 7; push 2, * ได้ 7 × 2 = 14

คำตอบ

A · 14
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การ splay ย้ายโหนดที่เข้าถึงไปที่รากด้วยการหมุน การดำเนินการหนึ่งครั้งอาจใช้ O(n) แต่ต้นทุนกระจายเป็น O(log n)

คำตอบ

B · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 16

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

คำตอบ

L = 16

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 30

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

EF (1): เลือก
AB (2): เลือก
AC (4): เลือก
BC (7): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DF (11): เลือก
BD (12): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 2 + 4 + 11 + 12 = 30

คำตอบ

W = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms