โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของการคูณเมทริกซ์ n × n สองเมทริกซ์ด้วยลูปสามชั้นมาตรฐานคือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาพนักงานขายเดินทางถูกจัดประเภทอย่างไร

  1. Aอยู่ใน P เพราะอัลกอริทึมของ Dijkstra แก้ได้โดยเยี่ยมชมทุกเมืองหนึ่งครั้ง
  2. Bแบบการตัดสินใจอยู่ใน P แต่แบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-complete
  3. Cตัดสินไม่ได้
  4. Dแบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

จุดประสงค์ของโหนดยามเฝ้า (sentinel หรือ dummy) ในลิงก์ลิสต์คืออะไร

  1. Aเก็บจำนวนสมาชิก
  2. Bทำให้ลิสต์เรียงลำดับ
  3. Cทำให้โค้ดง่ายขึ้นโดยตัดกรณีพิเศษที่หัวหรือท้าย
  4. Dเพื่อป้องกันไม่ให้ลิสต์ขยายเกินจำนวนโหนดสูงสุดที่กำหนดไว้
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ decrease-key ในฮีปทวิภาค (เมื่อทราบตำแหน่งของสมาชิก) คือ

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
31257615295ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี n² ช่องและแต่ละช่องต้องคูณ n ครั้ง ได้ n³ การดำเนินการ

คำตอบ

B · O(n³)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

"มีเส้นทางที่ยาวไม่เกิน k หรือไม่" เป็น NP-complete การหาเส้นทางที่สั้นที่สุดเป็น NP-hard เพราะยากอย่างน้อยเท่ากัน

คำตอบ

D · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ทำให้โค้ดง่ายขึ้นโดยตัดกรณีพิเศษที่หัวหรือท้าย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้วย sentinel ทุกโหนดจริงมีโหนดก่อนหน้า การแทรกหรือลบที่หัวจึงไม่ต้องจัดการพิเศษ

คำตอบ

C · ทำให้โค้ดง่ายขึ้นโดยตัดกรณีพิเศษที่หัวหรือท้าย
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หลังลดคีย์ สมาชิกเลื่อนขึ้นไม่เกินความสูงของฮีป ฮีปฟีโบนักชีทำ decrease-key แบบกระจายต้นทุนได้ใน O(1)

คำตอบ

A · O(log n)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 17

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 3, C: 12
B (3): C: 8
C (8): E: 15
E (15): D: 21, F: 17, G: 20
F (17)
G (20)
D (21)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → C → E → F
d(F) = 17

คำตอบ

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms