โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของการคูณเมทริกซ์ n × n สองเมทริกซ์ด้วยลูปสามชั้นมาตรฐานคือเท่าใด

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เพื่อแสดงว่าปัญหาใหม่ X เป็น NP-hard คุณต้องทำอะไร

  1. Aแสดงว่า X ไม่มีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับอินพุตเล็ก
  2. Bลดรูป X ไปเป็นปัญหา NP-hard ที่ทราบในเวลาพหุนาม
  3. Cลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
  4. Dแสดงว่า X ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เหตุใดฮีปทวิภาคจึงเก็บในอาร์เรย์ได้โดยไม่ต้องใช้ตัวชี้

  1. Aฮีปมีสมาชิกไม่เกิน 100 ตัวเสมอ
  2. Bเป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ
  3. Cอาร์เรย์เก็บคีย์ให้เรียงลำดับโดยอัตโนมัติ จึงไม่ต้องใช้ตัวชี้
  4. Dคีย์ทั้งหมดในฮีปเท่ากัน
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เพื่อให้ตารางแฮชทำงานถูกต้อง แฮชและความเท่ากันต้องเป็นไปตามกฎใด

  1. Aคีย์ที่ต่างกันต้องมีค่าแฮชต่างกัน
  2. Bค่าแฮชต้องเป็นจำนวนเฉพาะ
  3. Cค่าแฮชที่เท่ากันหมายถึงคีย์เท่ากัน
  4. Dคีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
617911151412ABCDE

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 3 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 3
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี n² ช่องและแต่ละช่องต้องคูณ n ครั้ง ได้ n³ การดำเนินการ

คำตอบ

B · O(n³)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าปัญหายากที่ทราบแปลงเป็น X ได้อย่างมีประสิทธิภาพ อัลกอริทึมเร็วสำหรับ X ก็จะแก้ปัญหาที่ทราบได้ด้วย

คำตอบ

C · ลดรูปปัญหา NP-hard ที่ทราบมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · เป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ความสมบูรณ์หมายความว่าไม่มีช่องว่าง ลูกของดัชนี i จึงอยู่ที่ 2i + 1 และ 2i + 2 เสมอ

คำตอบ

B · เป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากสองคีย์ที่เท่ากันแฮชต่างกัน จะถูกเก็บในถังต่างกันและการค้นหาจะล้มเหลว คีย์ที่ไม่เท่ากันยังใช้แฮชร่วมกันได้

คำตอบ

D · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

จุดยอดคี่

A, B, C, E → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม BD

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. AB (6)
2. BC (9)
3. BD (11)
4. BE (12)

เส้นเชื่อมหมายเลข 3

BD

คำตอบ

เส้นเชื่อม BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms