โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดรูทีนการเรียงลำดับในไลบรารีจำนวนมากจึงเปลี่ยนไปใช้ insertion sort กับอาร์เรย์ย่อยที่เล็กมาก

  1. Aอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำจัดการอาร์เรย์ที่เล็กกว่า 10 สมาชิกไม่ได้
  2. BInsertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
  3. CInsertion sort เป็น O(n log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
  4. DInsertion sort ใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอัลกอริทึมการเรียงลำดับอื่นทุกตัวกับอินพุตใหญ่
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาการหยุด (halting problem) แสดงว่า

  1. Aทุกโปรแกรมจะหยุดในที่สุด
  2. Bควรหลีกเลี่ยงลูป
  3. Cไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
  4. Dบางโปรแกรมทำงานเร็วขึ้นบนคอมพิวเตอร์ที่เร็วกว่า การหยุดจึงขึ้นอยู่กับฮาร์ดแวร์
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในตารางแฮชที่ใช้ open addressing ตัวประกอบการโหลดสูงสุดที่เป็นไปได้คือเท่าใด

  1. Aไม่มีค่าสูงสุด
  2. B0.5
  3. C1
  4. D2
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในอัลกอริทึมต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดของ Kruskal โครงสร้าง union-find ใช้เพื่อ

  1. Aเลือกจุดยอดเริ่มต้น
  2. Bเรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนัก
  3. Cเก็บระยะทางปัจจุบันของแต่ละจุดยอดจากต้นทางระหว่างการค้นหา
  4. Dตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4, 4 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 34 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4515614151ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(D) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป D ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: D
d(D) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ n น้อย ลูปง่าย ๆ ของ insertion sort ชนะภาระการเรียกซ้ำของ quicksort หรือ merge sort แม้จะเป็น O(n²)

คำตอบ

B · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทัวริงแสดงว่าปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้ (undecidable): การสมมติว่ามีตัวตัดสินอยู่นำไปสู่ข้อขัดแย้งกับโปรแกรมที่ทำสิ่งตรงข้าม

คำตอบ

C · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้วย open addressing ทุกคีย์ถูกเก็บในตารางเอง n จึงเกิน m ไม่ได้ ส่วน separate chaining มี load factor เกิน 1 ได้

คำตอบ

C · 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Find บอกว่าปลายทั้งสองอยู่ในส่วนประกอบเดียวกันหรือไม่ ถ้าไม่ ก็เพิ่มเส้นเชื่อมและ union รวมส่วนประกอบ

คำตอบ

D · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 26

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 56 = 2(L + 16) − 2
L = 26

คำตอบ

L = 26

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(D) = 6

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 4, C: 5
B (4): E: 5
C (5)
E (5): D: 6, F: 20
D (6): F: 10
F (10)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → E → D
d(D) = 6

คำตอบ

d(D) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms