โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การโปรแกรมพลวัต (dynamic programming) มีประโยชน์เมื่อปัญหามี

  1. Aอินพุตสุ่มเท่านั้น
  2. Bปัญหาย่อยที่ซ้อนทับกันและโครงสร้างย่อยเหมาะสมที่สุด
  3. Cลูปเพียงชั้นเดียว
  4. Dไม่มีปัญหาย่อยเลย จึงแก้ได้ในขั้นตอนเดียว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาเฉลี่ยในตารางแฮชจึงเป็น O(1) แต่กรณีเลวร้ายที่สุดเป็น O(n)

  1. Aคีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน
  2. Bต้องเรียงคีย์ก่อน
  3. Cฟังก์ชันแฮชช้า
  4. Dอาร์เรย์เข้าถึงใน O(n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

หาคีย์ที่น้อยที่สุดใน binary search tree ได้อย่างไร

  1. Aเยี่ยมทุกใบและเปรียบเทียบกัน
  2. Bตามลูกขวาจากรากจนไม่มีลูกขวา
  3. Cตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
  4. Dดูเฉพาะราก
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คีย์ 5, 3, 8, 1 ถูกแทรกตามลำดับนี้ลงใน min-heap ทวิภาคแบบอาร์เรย์ที่ว่าง อาร์เรย์สุดท้ายคืออะไร

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 7 จุดยอดและ 9 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 7|E| = 9
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
94138151118ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ปัญหาย่อยที่ซ้อนทับกันและโครงสร้างย่อยเหมาะสมที่สุด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเก็บผลของปัญหาย่อยที่ซ้อนทับกัน (memoisation หรือ tabulation) ช่วยหลีกเลี่ยงงานซ้ำ เปลี่ยนอัลกอริทึมแบบเอกซ์โพเนนเชียลให้เป็นพหุนาม

คำตอบ

B · ปัญหาย่อยที่ซ้อนทับกันและโครงสร้างย่อยเหมาะสมที่สุด
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · คีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อมีฟังก์ชันแฮชที่ดีและตัวประกอบการโหลดเหมาะสม ถังจะสั้นโดยเฉลี่ย แต่การโจมตีหรือแฮชที่แย่อาจทำให้ทุกคีย์ไปอยู่ในถังเดียว

คำตอบ

A · คีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดไม่มีคีย์ที่เล็กกว่าในต้นไม้ จึงเป็นค่าต่ำสุด ต้นทุนแปรผันตามความสูง

คำตอบ

C · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · [1, 3, 8, 5]

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หลัง 5, 3, 8 อาร์เรย์เป็น [3, 5, 8] 1 ไปอยู่ดัชนี 3 สลับกับแม่ 5 แล้วสลับกับ 3 ได้ [1, 3, 8, 5]

คำตอบ

C · [1, 3, 8, 5]
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

7 − 1 = 6

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 9 − 6 = 3

คำตอบ

k = 3
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): C: 9
2. C (9): B: 13, E: 17
3. B (13): D: 26
4. E (17): F: 28
5. D (26): F: 27
6. F (27)

รอบ 5

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms