โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมใดหาเส้นทางสั้นที่สุดจากต้นทางหนึ่งในกราฟที่น้ำหนักเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ

  1. Aต้องใช้ Bellman–Ford ในทุกกรณี
  2. Bอัลกอริทึมของ Kruskal
  3. Cการค้นหาในแนวลึก
  4. Dอัลกอริทึมของ Dijkstra
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาความสอดคล้องข้อใดต่อไปนี้ทราบว่าแก้ได้ในเวลาพหุนาม

  1. ASAT ทั่วไปบนสูตรรูปแบบนอร์มัลเชิงเชื่อม
  2. Bความสอดคล้องของวงจร
  3. C2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว
  4. D3-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลสามตัวพอดี
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในฮีปทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์เริ่มที่ดัชนี 0 แม่ของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่ใด

  1. Aที่ดัชนี i − 1
  2. Bที่ดัชนี ⌊i / 2⌋ + 1
  3. Cที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. Dที่ดัชนี 2i + 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การกลับลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวในที่เดิมมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เพิ่มเติมเท่าใด

  1. Aเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(n)
  2. Bเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  3. Cเวลา O(n log n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  4. Dเวลา O(1) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 3, 2 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 32 × deg 43 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4131416155191118ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 10
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · อัลกอริทึมของ Dijkstra

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ได้กับน้ำหนักที่ไม่เป็นลบ ส่วน Bellman–Ford รองรับน้ำหนักติดลบ และ Kruskal สร้างต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด

คำตอบ

D · อัลกอริทึมของ Dijkstra
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · 2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

2-SAT อยู่ใน P (เวลาเชิงเส้นผ่านส่วนประกอบเชื่อมโยงเข้มแข็ง) ส่วน 3-SAT เป็น NP-complete

คำตอบ

C · 2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลูกของ i อยู่ที่ 2i + 1 และ 2i + 2 ดังนั้นแม่ของ i คือ ⌊(i − 1) / 2⌋ ถ้าดัชนีเริ่มที่ 1 จะเป็น ⌊i / 2⌋

คำตอบ

C · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเก็บตัวชี้สามตัว (previous, current, next) ทำให้กลับแต่ละลิงก์ในรอบเดียวโดยไม่จัดสรรโหนดใหม่

คำตอบ

B · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

คำตอบ

L = 8

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 42

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BD (1): เลือก
CE (3): เลือก
AB (4): เลือก
GB (5): เลือก
GD (11): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DE (14): เลือก
EF (15): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 14 + 15 = 42

คำตอบ

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms