โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมการเรียงลำดับใดเป็นแบบเสถียร (stable)

  1. ASelection sort (แบบทั่วไป)
  2. BQuicksort (แบบทำในที่เดิมทั่วไป)
  3. CMerge sort
  4. DHeap sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมของ Strassen คูณเมทริกซ์โดยใช้การคูณแบบเรียกซ้ำของบล็อกครึ่งขนาด 7 ครั้งแทนที่จะเป็น 8 ครั้ง เวลาทำงานของมันคือเท่าใด

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
  4. DΘ(n2)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ทราย (trie หรือ prefix tree) มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษสำหรับ

  1. Aการเรียงตัวเลข
  2. Bการเก็บเมทริกซ์
  3. Cการหาเส้นทางสั้นที่สุด
  4. Dการค้นหาด้วยคำนำหน้า เช่น autocomplete
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

อัลกอริทึมของ Kahn สำหรับการเรียงทอพอโลยีลบจุดยอดที่มี in-degree 0 ซ้ำ ๆ โครงสร้างใดเก็บจุดยอดเหล่านั้น

  1. Aเมทริกซ์ประชิดที่บันทึกว่าจุดยอดใดถูกลบไปแล้ว
  2. Bmax-heap เรียงตาม out-degree
  3. Cสแตกของเส้นเชื่อมที่เยี่ยมทั้งหมด
  4. Dคิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 8
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
129793131315ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Merge sort

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Merge sort เสถียรเมื่อการผสานหยิบจากครึ่งซ้ายก่อนในกรณีที่เท่ากัน ส่วน quicksort แบบทำในที่เดิม heap sort และ selection sort มักไม่เสถียร

คำตอบ

C · Merge sort
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ a = 7 และ b = 2 ค่า nlog₂ 7 ครอบงำงานบวก O(n²) ได้ประมาณ n2.81

คำตอบ

C · Θ(nlog₂ 7) ประมาณ n2.81
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · การค้นหาด้วยคำนำหน้า เช่น autocomplete

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Trie เก็บสตริงด้วยอักขระตามเส้นทาง การค้นหาและคำถามคำนำหน้าจึงใช้เวลาแปรผันตามความยาวคีย์

คำตอบ

D · การค้นหาด้วยคำนำหน้า เช่น autocomplete
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จุดยอดที่พร้อมถูกเก็บในคิว การลบหนึ่งจุดลด in-degree ของข้างเคียง และตัวที่ถึง 0 ถูกเพิ่ม ได้เวลา O(V + E)

คำตอบ

D · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 1

จุดยอดคี่

A, D, E, G → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 25

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 12, C: 9
C (9): E: 12
B (12): D: 21
E (12): F: 25
D (21)
F (25)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 25

คำตอบ

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms