โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ (undecidable) ต่างจากปัญหาที่จัดการไม่ได้ (intractable) อย่างไร

  1. Aทั้งสองหมายถึงปัญหาไม่มีอัลกอริทึมเลย
  2. Bปัญหาที่ตัดสินไม่ได้อยู่ใน NP ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้อยู่ใน P
  3. Cปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
  4. Dปัญหาที่จัดการไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้ ส่วนปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ต้องการเพียงเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เครือข่ายถนนมี 100,000 ทางแยก แต่ละแห่งเชื่อมกับประมาณ 4 แห่ง การแทนแบบใดเหมาะที่สุด

  1. Aเมทริกซ์ประชิด
  2. Bฮีปทวิภาคของเส้นเชื่อม
  3. Cรายการประชิด
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับเดียวของจุดยอด
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

  1. Aคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
  2. Bการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
  3. Cการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค
  4. Dการหามัธยฐานใน O(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 8
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
14141213118ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 4 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

D · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหาการหยุดไม่มีอัลกอริทึมเลย ส่วนปัญหา NP-hard เช่น TSP แก้ได้ด้วยกำลังเดรัจฉาน เพียงแต่ไม่ได้ในเวลาพหุนามที่ทราบ

คำตอบ

C · ปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับทุกอินพุต ส่วนปัญหาที่จัดการไม่ได้มีอัลกอริทึมแต่ช้าเกินไป
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · รายการประชิด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ต้องใช้ 1010 ช่อง เกือบทั้งหมดว่าง รายการประชิดเก็บเพียงรายการเส้นเชื่อมราว 400,000 รายการ

คำตอบ

C · รายการประชิด
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Fenwick tree เก็บผลรวมบางส่วนของช่วงที่กำหนดโดยบิตต่ำของแต่ละดัชนี ทั้งผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตจุดจึงใช้ O(log n)

คำตอบ

A · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

จุดยอดคี่

A, B, C, D, E, G → 6
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 15, D: 18, E: 22
3. C (15)
4. D (18): E: 19, F: 21
5. E (19)
6. F (21)

รอบ 4

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms