โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึม Bellman–Ford ตรวจจับวงจรน้ำหนักติดลบที่ไปถึงได้จากต้นทางอย่างไร

  1. Aตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดมีน้ำหนักติดลบหรือไม่
  2. Bนับวงจรด้วยการค้นหาในแนวลึก
  3. Cหลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
  4. Dรัน Dijkstra สองครั้งแล้วเปรียบเทียบผลระยะทางทั้งสองชุด
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

สมาชิกใหม่ถูกแทรกลงในฮีปทวิภาคอย่างไร

  1. Aวางที่รากและเลื่อนลง
  2. Bวางที่ท้ายอาร์เรย์และเลื่อนขึ้น (sift up) ตราบที่ยังละเมิดคุณสมบัติฮีป
  3. Cสร้างฮีปใหม่ทั้งหมดตั้งแต่ต้น
  4. Dแทรกที่ตำแหน่งตามลำดับโดยเลื่อนสมาชิกที่ใหญ่กว่าทั้งหมดไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โครงสร้างข้อมูลใดรองรับแคช LRU (least recently used) ที่ get และ put เป็น O(1)

  1. Aสแตกเท่านั้น
  2. Bhash map ร่วมกับลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
  3. Cbinary search tree เท่านั้น
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับเดียว
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 5, 2 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 34 × deg 52 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
69131531525ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลูปชั้นในทำงานประมาณ log₂ n ครั้งสำหรับแต่ละรอบของลูปชั้นนอก n รอบ ได้ O(n log n)

คำตอบ

C · O(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระยะทางสั้นที่สุดจริงทั้งหมดพบภายใน V − 1 รอบ ถ้ายังปรับปรุงเส้นเชื่อมใดได้อีก ต้องมีวงจรติดลบ

คำตอบ

C · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · วางที่ท้ายอาร์เรย์และเลื่อนขึ้น (sift up) ตราบที่ยังละเมิดคุณสมบัติฮีป

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเพิ่มที่ท้ายรักษาต้นไม้ให้สมบูรณ์ การสลับกับแม่คืนลำดับใน O(log n) ขั้นตอน

คำตอบ

B · วางที่ท้ายอาร์เรย์และเลื่อนขึ้น (sift up) ตราบที่ยังละเมิดคุณสมบัติฮีป
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · hash map ร่วมกับลิงก์ลิสต์สองทิศทาง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Hash map หาโหนดใน O(1) และลิงก์ลิสต์สองทิศทางย้ายรายการที่เข้าถึงไปด้านหน้าและขับออกจากด้านหลังใน O(1)

คำตอบ

B · hash map ร่วมกับลิงก์ลิสต์สองทิศทาง
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 18

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

คำตอบ

L = 18

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 13

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 6, C: 9
B (6): D: 21, E: 11
C (9)
E (11): F: 13
F (13)
D (21)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → E → F
d(F) = 13

คำตอบ

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms