โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n − 1) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาเฉลี่ยในตารางแฮชจึงเป็น O(1) แต่กรณีเลวร้ายที่สุดเป็น O(n)

  1. Aฟังก์ชันแฮชช้า
  2. Bอาร์เรย์เข้าถึงใน O(n)
  3. Cต้องเรียงคีย์ก่อน
  4. Dคีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การค้นหาคำความยาว L ใน trie ที่มีตัวอักษรคงที่ใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(log n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  2. BO(L × n)
  3. CO(n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  4. DO(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การกลับลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวในที่เดิมมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เพิ่มเติมเท่าใด

  1. Aเวลา O(1) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  2. Bเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(n)
  3. Cเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  4. Dเวลา O(n log n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 2 จุดยอดดีกรี 5, 3 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 32 × deg 53 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
3937514614ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(2ⁿ)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จำนวนการเรียกเพิ่มเป็นสองเท่าในแต่ละระดับและมี n ระดับ ผลรวมจึงประมาณ 2ⁿ เช่นเดียวกับหอคอยฮานอย

คำตอบ

C · O(2ⁿ)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · คีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อมีฟังก์ชันแฮชที่ดีและตัวประกอบการโหลดเหมาะสม ถังจะสั้นโดยเฉลี่ย แต่การโจมตีหรือแฮชที่แย่อาจทำให้ทุกคีย์ไปอยู่ในถังเดียว

คำตอบ

D · คีย์จำนวนมากอาจชนกันไปอยู่ในถังเดียวกัน
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละอักขระเลือกลูกหนึ่งตัว การค้นหาจึงใช้ L ขั้นตอนไม่ว่า trie จะมีกี่คำ

คำตอบ

D · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเก็บตัวชี้สามตัว (previous, current, next) ทำให้กลับแต่ละลิงก์ในรอบเดียวโดยไม่จัดสรรโหนดใหม่

คำตอบ

C · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 28 = 2(L + 9) − 2
L = 12

คำตอบ

L = 12

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 16

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 3, C: 9
B (3): C: 6, D: 10, E: 17
C (6): E: 11
D (10): F: 16
E (11)
F (16)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → F
d(F) = 16

คำตอบ

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms