โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) ทำงาน O(1) คือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคมีราก 1 ลูกซ้าย 2 ลูกขวา 3 โหนด 2 มีลูก 4 (ซ้าย) และ 5 (ขวา) การท่องแบบ preorder คืออะไร

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในตารางแฮชที่ใช้ open addressing เหตุใดการลบจึงมักทำด้วยเครื่องหมาย "tombstone"

  1. Aการทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
  2. Bคีย์ที่ลบต้องเก็บไว้ตลอดไปเพื่อความปลอดภัย จึงใช้ช่องนั้นซ้ำไม่ได้
  3. Ctombstone เร่งการแฮช
  4. Dทำให้ตารางเรียงลำดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 12 จุดยอดและ 15 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 12|E| = 15
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กความยาว 3 จาก D ไป E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

C · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ผลรวมคือ n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn และจำนวนฮาร์มอนิก Hn เป็น Θ(log n)

คำตอบ

A · O(n log n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · 1 2 4 5 3

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Preorder เยี่ยม 1 แล้วต้นไม้ย่อยซ้าย (2, 4, 5) แล้ว 3 ตัวเลือกอื่นคือ inorder, postorder และ level-order

คำตอบ

C · 1 2 4 5 3
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากช่องที่ถูกลบกลายเป็นช่องว่าง การค้นหาภายหลังอาจหยุดก่อนและพลาดคีย์ที่วางไว้ไกลออกไปตามลำดับการตรวจสอบ

คำตอบ

A · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 4

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

12 − 1 = 11

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 15 − 11 = 4

คำตอบ

k = 4
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 5

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)DE = 1·0 + 1·1 + 2·1 + 2·1 + 1·0 = 5

คำตอบ

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms