โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดรูทีนการเรียงลำดับในไลบรารีจำนวนมากจึงเปลี่ยนไปใช้ insertion sort กับอาร์เรย์ย่อยที่เล็กมาก

  1. AInsertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
  2. BInsertion sort ใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอัลกอริทึมการเรียงลำดับอื่นทุกตัวกับอินพุตใหญ่
  3. Cอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำจัดการอาร์เรย์ที่เล็กกว่า 10 สมาชิกไม่ได้
  4. DInsertion sort เป็น O(n log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาพนักงานขายเดินทางถูกจัดประเภทอย่างไร

  1. Aตัดสินไม่ได้
  2. Bแบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
  3. Cแบบการตัดสินใจอยู่ใน P แต่แบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-complete
  4. Dอยู่ใน P เพราะอัลกอริทึมของ Dijkstra แก้ได้โดยเยี่ยมชมทุกเมืองหนึ่งครั้ง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์เต็ม (perfect binary tree) ที่มีความสูง h มีกี่โหนด เมื่อความสูงนับเป็นเส้นเชื่อม

  1. Ah2
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. D2h+1 − 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ decrease-key ในฮีปทวิภาค (เมื่อทราบตำแหน่งของสมาชิก) คือ

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K5 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K5
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
744101011121413ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อ n น้อย ลูปง่าย ๆ ของ insertion sort ชนะภาระการเรียกซ้ำของ quicksort หรือ merge sort แม้จะเป็น O(n²)

คำตอบ

A · Insertion sort มีภาระเพิ่มน้อยและเร็วกับอินพุตที่เล็กหรือเกือบเรียงแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

"มีเส้นทางที่ยาวไม่เกิน k หรือไม่" เป็น NP-complete การหาเส้นทางที่สั้นที่สุดเป็น NP-hard เพราะยากอย่างน้อยเท่ากัน

คำตอบ

B · แบบการตัดสินใจเป็น NP-complete และแบบหาค่าเหมาะที่สุดเป็น NP-hard
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · 2h+1 − 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การรวม 1 + 2 + 4 + ... + 2h ได้ 2h+1 − 1 เช่น ความสูง 2 ได้ 7 โหนด

คำตอบ

D · 2h+1 − 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หลังลดคีย์ สมาชิกเลื่อนขึ้นไม่เกินความสูงของฮีป ฮีปฟีโบนักชีทำ decrease-key แบบกระจายต้นทุนได้ใน O(1)

คำตอบ

A · O(log n)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): C: 7
2. C (7): B: 11, E: 17, G: 9
3. G (9): D: 23
4. B (11): D: 15
5. D (15): F: 16
6. F (16)
7. E (17)

รอบ 5

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms