โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมใดหาเส้นทางสั้นที่สุดจากต้นทางหนึ่งในกราฟที่น้ำหนักเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ

  1. Aต้องใช้ Bellman–Ford ในทุกกรณี
  2. Bอัลกอริทึมของ Dijkstra
  3. Cการค้นหาในแนวลึก
  4. Dอัลกอริทึมของ Kruskal
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาการหยุด (halting problem) แสดงว่า

  1. Aควรหลีกเลี่ยงลูป
  2. Bไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
  3. Cทุกโปรแกรมจะหยุดในที่สุด
  4. Dบางโปรแกรมทำงานเร็วขึ้นบนคอมพิวเตอร์ที่เร็วกว่า การหยุดจึงขึ้นอยู่กับฮาร์ดแวร์
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

extract-min ใน min-heap ทวิภาคทำงานอย่างไร

  1. Aค้นหาใบทั้งหมดเพื่อหาค่าต่ำสุดใหม่
  2. Bลบสมาชิกสุดท้ายของอาร์เรย์
  3. Cย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
  4. Dลบรากและเลื่อนสมาชิกทั้งหมดไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อได้เปรียบหลักของ skip list เหนือลิงก์ลิสต์ที่เรียงลำดับคืออะไร

  1. Aรับประกันการค้นหา O(1) เพราะทุกโหนดเก็บตัวชี้ไปยังทุกโหนดอื่น
  2. Bการค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
  3. Cไม่ใช้หน่วยความจำเพิ่ม
  4. Dเก็บคีย์โดยไม่เรียงลำดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
91366111013311ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 6 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · อัลกอริทึมของ Dijkstra

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ได้กับน้ำหนักที่ไม่เป็นลบ ส่วน Bellman–Ford รองรับน้ำหนักติดลบ และ Kruskal สร้างต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด

คำตอบ

B · อัลกอริทึมของ Dijkstra
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทัวริงแสดงว่าปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้ (undecidable): การสมมติว่ามีตัวตัดสินอยู่นำไปสู่ข้อขัดแย้งกับโปรแกรมที่ทำสิ่งตรงข้าม

คำตอบ

B · ไม่มีอัลกอริทึมใดตัดสินได้สำหรับทุกโปรแกรมและอินพุตว่าโปรแกรมจะหยุดหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สมาชิกสุดท้ายเติมช่องว่างที่ราก และสลับกับลูกที่เล็กกว่าจนคุณสมบัติฮีปเป็นจริง ใช้ O(log n)

คำตอบ

C · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระดับแบบสุ่มทำให้การค้นหาข้ามหลายโหนด ได้การค้นหา แทรก และลบ O(log n) คาดหมาย

คำตอบ

B · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

จุดยอดคี่

A, B, C, D, E, F → 6
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: E

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 9, C: 13
2. B (9): D: 15, G: 20
3. C (13): E: 24
4. D (15): F: 28
5. G (20)
6. E (24): F: 27
7. F (27)

รอบ 6

E

คำตอบ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms