โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ด้วยเหรียญ 1, 3 และ 4 และยอด 6 วิธีละโมบ "หยิบเหรียญใหญ่สุดก่อน" ใช้เหรียญกี่เหรียญเมื่อเทียบกับค่าที่เหมาะสมที่สุด

  1. Aละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 3
  2. Bละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
  3. Cละโมบใช้ 2 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
  4. Dละโมบใช้ 4 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 3
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบทวิภาคจึงไม่ให้เวลา O(log n) บนรายการเชื่อมโยงเดี่ยว

  1. Aการเปรียบเทียบบนโหนดของรายการเชื่อมโยงช้ากว่า
  2. Bรายการเชื่อมโยงเรียงลำดับไม่ได้
  3. Cการไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
  4. Dการค้นหาแบบทวิภาคต้องใช้หน่วยความจำอย่างน้อยสองเท่า
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

วิธีแก้การชนกันแบบใดเก็บคีย์ที่ชนกันไว้ในลิสต์ที่ถังเดียวกัน

  1. Aการตรวจสอบเชิงเส้น (linear probing)
  2. Bการแฮชซ้อน (double hashing)
  3. Cการตรวจสอบกำลังสอง (quadratic probing)
  4. Dการเชื่อมโซ่แยก (separate chaining)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

สำหรับแต่ละสมาชิกของอาร์เรย์ คุณต้องการสมาชิกที่ใหญ่กว่าถัดไปทางขวา ในเวลารวม O(n) โครงสร้างใดช่วยได้

  1. Aคิวที่เก็บทุกคู่ของสมาชิก
  2. Bbinary search tree ที่สร้างใหม่สำหรับแต่ละสมาชิก
  3. Cสแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
  4. Dตารางแฮชของสมาชิกทั้งหมด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 6
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
10261314137108ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

วิธีละโมบหยิบ 4 + 1 + 1 = 3 เหรียญ แต่ 3 + 3 ใช้เพียง 2 วิธีละโมบจึงไม่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบเหรียญนี้ การโปรแกรมพลวัตทำได้

คำตอบ

B · ละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การค้นหาแบบทวิภาคต้องเข้าถึงสมาชิกตรงกลางใน O(1) บนรายการเชื่อมโยงการเดินไปถึงต้องใช้เวลาเชิงเส้น ผลรวมจึงเป็น O(n)

คำตอบ

C · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · การเชื่อมโซ่แยก (separate chaining)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Chaining เก็บลิงก์ลิสต์ (หรือโครงสร้างอื่น) ต่อหนึ่งถัง ส่วน open addressing หาช่องว่างอื่นในตารางเอง

คำตอบ

D · การเชื่อมโซ่แยก (separate chaining)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สแกนจากซ้ายไปขวา pop ทุกสมาชิกบนสแตกที่เล็กกว่าตัวปัจจุบัน (ตัวปัจจุบันคือคำตอบของพวกมัน) แล้ว push ตัวปัจจุบัน แต่ละสมาชิกเคลื่อนไม่เกินสองครั้ง

คำตอบ

C · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

B, C → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: E

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 10, C: 2
2. C (2): B: 8, E: 16, G: 10
3. B (8): D: 21
4. G (10)
5. E (16): F: 23
6. D (21)
7. F (23)

รอบ 5

E

คำตอบ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms