โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การกล่าวว่าอัลกอริทึม O(n²) เป็น O(n³) ด้วย ถูกต้องหรือไม่

  1. Aถูกต้อง แต่เฉพาะเมื่อ n น้อยกว่า 100
  2. Bไม่ถูก เพราะ n³ น้อยกว่า n² เมื่อ n มาก
  3. Cไม่ถูก เพราะ Big O ต้องระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอนของฟังก์ชันเสมอ
  4. Dถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้นทุนแบบกระจายของการเพิ่มค่าตัวนับฐานสองหนึ่งครั้งคือเท่าใด เมื่อการเพิ่มหนึ่งครั้งอาจพลิกหลายบิต

  1. AO(n log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  2. BO(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  3. CO(log n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
  4. DO(n) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เหตุใดการท่องอาร์เรย์จึงเร็วกว่าการท่องลิงก์ลิสต์ที่ยาวเท่ากันมากในทางปฏิบัติ

  1. Aการท่องอาร์เรย์เป็น O(1) โดยรวม ส่วนการท่องลิงก์ลิสต์เป็น O(n)
  2. Bลิงก์ลิสต์เก็บสมาชิกบนดิสก์เสมอ
  3. Cสมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี
  4. Dอาร์เรย์ใช้คำสั่งน้อยกว่าในการเปรียบเทียบค่า
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เพื่อให้ตารางแฮชทำงานถูกต้อง แฮชและความเท่ากันต้องเป็นไปตามกฎใด

  1. Aคีย์ที่ต่างกันต้องมีค่าแฮชต่างกัน
  2. Bค่าแฮชต้องเป็นจำนวนเฉพาะ
  3. Cคีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
  4. Dค่าแฮชที่เท่ากันหมายถึงคีย์เท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K4 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K4
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4195151418163ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด F ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 5

เริ่มต้น: Fk = 5
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม GB
  8. 8เส้นเชื่อม GC
  9. 9เส้นเชื่อม GD

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Big O เป็นขอบเขตบน ข้อความนี้จึงจริงแต่ไม่แน่น ส่วน Θ(n²) ระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอน

คำตอบ

D · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตลอดการเพิ่ม n ครั้ง บิต i พลิกประมาณ n / 2ⁱ ครั้ง ผลรวมจึงน้อยกว่า 2n การพลิก เฉลี่ย O(1) ต่อครั้ง

คำตอบ

B · O(1) ต่อการเพิ่มหนึ่งครั้ง
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หน่วยความจำต่อเนื่องให้ locality of reference ที่ดี ขณะที่โหนดที่เชื่อมกันอาจกระจัดกระจายและทำให้เกิด cache miss มาก

คำตอบ

C · สมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากสองคีย์ที่เท่ากันแฮชต่างกัน จะถูกเก็บในถังต่างกันและการค้นหาจะล้มเหลว คีย์ที่ไม่เท่ากันยังใช้แฮชร่วมกันได้

คำตอบ

C · คีย์ที่เท่ากันต้องมีค่าแฮชเท่ากัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

คำตอบ

H = 3
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม BC

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. DF (18)
2. GD (3)
3. GB (1)
4. AB (4)
5. BC (5)
6. CE (14)

เส้นเชื่อมหมายเลข 5

BC

คำตอบ

เส้นเชื่อม BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms