โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n − 1) + O(n) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เวลาทำงานของอัลกอริทึมของ Dijkstra ที่ใช้ฮีปไบนารีบนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ตารางแฮชขนาด 7 ใช้ h(k) = k mod 7 และ linear probing หลังแทรก 10 แล้ว 17 ถูกเก็บที่ใด

  1. Aดัชนี 4
  2. Bดัชนี 6
  3. Cดัชนี 0
  4. Dดัชนี 3
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

radix tree (compressed trie) ปรับปรุง trie ธรรมดาอย่างไร

  1. Aเก็บแต่ละคำไว้ในตารางแฮชที่ราก แทนที่จะเก็บในโหนดแยกกัน
  2. Bรวมโซ่ของโหนดที่มีลูกตัวเดียวเป็นเส้นเชื่อมเดียวที่ติดป้ายด้วยสตริง
  3. Cเก็บเฉพาะตัวอักษรแรกของแต่ละคำ
  4. Dเรียงลูกของแต่ละโหนดตามความถี่
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 5
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
310712211153ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

งานรวมได้ประมาณ n² / 2 ซึ่งเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดของ selection sort หรือของ quicksort เมื่อเลือกตัวหลักแย่ที่สุด

คำตอบ

D · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O((V + E) log V)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี extract-min V ครั้งและ decrease-key ได้ถึง E ครั้ง แต่ละครั้ง O(log V) ฮีปฟีโบนักชีปรับให้ดีขึ้นเป็น O(E + V log V)

คำตอบ

C · O((V + E) log V)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ดัชนี 4

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

10 mod 7 = 3 และ 17 mod 7 = 3 ดัชนี 3 ถูกใช้แล้ว linear probing จึงลองช่องถัดไป คือดัชนี 4

คำตอบ

A · ดัชนี 4
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · รวมโซ่ของโหนดที่มีลูกตัวเดียวเป็นเส้นเชื่อมเดียวที่ติดป้ายด้วยสตริง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การยุบเส้นทางที่ไม่แตกกิ่งลดจำนวนโหนดและหน่วยความจำที่ใช้ โดยยังรักษาการค้นหาด้วยคำนำหน้า

คำตอบ

B · รวมโซ่ของโหนดที่มีลูกตัวเดียวเป็นเส้นเชื่อมเดียวที่ติดป้ายด้วยสตริง
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 19

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 3, C: 10
B (3): D: 10, E: 6
E (6): D: 8, F: 21
D (8): F: 19
C (10)
F (19)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → E → D → F
d(F) = 19

คำตอบ

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms