โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลแบบเรียกซ้ำง่าย ๆ fact(n) = n × fact(n − 1) ใช้พื้นที่สแต็กเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึม Bellman–Ford ตรวจจับวงจรน้ำหนักติดลบที่ไปถึงได้จากต้นทางอย่างไร

  1. Aรัน Dijkstra สองครั้งแล้วเปรียบเทียบผลระยะทางทั้งสองชุด
  2. Bตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดมีน้ำหนักติดลบหรือไม่
  3. Cหลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
  4. Dนับวงจรด้วยการค้นหาในแนวลึก
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ใน min-heap ทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์ (ดัชนีเริ่มที่ 0) ลูกของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่

  1. Ai + 1 และ i + 2
  2. B2i + 1 และ 2i + 2
  3. Ci/2 และ i/2 + 1
  4. D2i และ 2i + 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

  1. Aการหามัธยฐานใน O(1)
  2. Bการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค
  3. Cคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
  4. Dการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 9
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
68122111118815ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเรียกซ้ำลึก n ชั้นก่อนจะมีการคืนค่าใด ๆ และแต่ละการเรียกต้องมีเฟรมสแต็ก จึงใช้พื้นที่ O(n)

คำตอบ

D · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระยะทางสั้นที่สุดจริงทั้งหมดพบภายใน V − 1 รอบ ถ้ายังปรับปรุงเส้นเชื่อมใดได้อีก ต้องมีวงจรติดลบ

คำตอบ

C · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · 2i + 1 และ 2i + 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับอาร์เรย์ที่เริ่มที่ 0 ลูกซ้ายอยู่ที่ 2i + 1 ลูกขวาที่ 2i + 2 และแม่ที่ ⌊(i − 1)/2⌋

คำตอบ

B · 2i + 1 และ 2i + 2
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Fenwick tree เก็บผลรวมบางส่วนของช่วงที่กำหนดโดยบิตต่ำของแต่ละดัชนี ทั้งผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตจุดจึงใช้ O(log n)

คำตอบ

C · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

จุดยอดคี่

A, E → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 15

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 6, C: 8
B (6): D: 8, G: 14
C (8)
D (8): E: 19, F: 19, G: 9
G (9): E: 14
E (14): F: 15
F (15)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → G → E → F
d(F) = 15

คำตอบ

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms