โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาในกรณีเลวร้ายที่สุดของ quicksort คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

22n อยู่ใน O(2ⁿ) หรือไม่

  1. Aไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต
  2. Bใช่ เพราะทั้งสองเป็นเอกซ์โพเนนเชียล
  3. Cใช่ เพราะตัวคูณคงที่ในเลขชี้กำลังถูกละไว้เสมอใน Big O
  4. Dไม่ เพราะ 22n เติบโตช้ากว่า 2ⁿ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การค้นหาคำความยาว L ใน trie ที่มีตัวอักษรคงที่ใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  2. BO(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
  3. CO(log n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  4. DO(L × n)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในตารางแฮชที่ใช้ open addressing เหตุใดการลบจึงมักทำด้วยเครื่องหมาย "tombstone"

  1. Aคีย์ที่ลบต้องเก็บไว้ตลอดไปเพื่อความปลอดภัย จึงใช้ช่องนั้นซ้ำไม่ได้
  2. Bทำให้ตารางเรียงลำดับ
  3. Ctombstone เร่งการแฮช
  4. Dการทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 2 จุดยอดดีกรี 4 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 32 × deg 4
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
12142611918516ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 4
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม DF
  8. 8เส้นเชื่อม EF
  9. 9เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักไม่ดีติดต่อกัน (เช่น อินพุตที่เรียงแล้วและเลือกตัวแรกเป็นตัวหลัก) การแบ่งส่วนจะไม่สมดุล ได้ O(n²) ส่วนกรณีเฉลี่ยคือ O(n log n)

คำตอบ

A · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ค่าคงที่ที่บวกเข้ากับเลขชี้กำลังให้ตัวคูณคงที่ แต่ค่าคงที่ที่คูณเลขชี้กำลังเปลี่ยนฐานและอัตราการเติบโต

คำตอบ

A · ไม่ เพราะ 22n = 4ⁿ และ 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ เติบโตไม่มีขอบเขต
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละอักขระเลือกลูกหนึ่งตัว การค้นหาจึงใช้ L ขั้นตอนไม่ว่า trie จะมีกี่คำ

คำตอบ

B · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากช่องที่ถูกลบกลายเป็นช่องว่าง การค้นหาภายหลังอาจหยุดก่อนและพลาดคีย์ที่วางไว้ไกลออกไปตามลำดับการตรวจสอบ

คำตอบ

D · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 10

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

คำตอบ

L = 10

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม DE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. BC (2)
2. EF (5)
3. BD (6)
4. DE (9)
5. AB (12)

เส้นเชื่อมหมายเลข 4

DE

คำตอบ

เส้นเชื่อม DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms