โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดการโปรแกรมพลวัตจึงไม่ช่วยเร่ง merge sort ได้จริง

  1. Aการโปรแกรมพลวัตใช้ได้กับปัญหากราฟเท่านั้น ไม่ใช่กับอาร์เรย์
  2. BMerge sort ไม่มีโครงสร้างแบบเรียกซ้ำ
  3. CMerge sort เป็น O(n) อยู่แล้ว
  4. Dปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ต้องแสดงสองสิ่งใดเพื่อพิสูจน์ว่าปัญหาการตัดสินใจ X เป็น NP-complete

  1. AX อยู่ใน P และ X ลดรูปไปเป็น SAT
  2. BX ลดรูปไปเป็นปัญหาใน P และ X อยู่ใน NP
  3. CX ไม่มีอัลกอริทึมพหุนาม และ X ตัดสินได้
  4. DX อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ตารางแฮชขนาด 7 ใช้ h(k) = k mod 7 และ linear probing หลังแทรก 10 แล้ว 17 ถูกเก็บที่ใด

  1. Aดัชนี 6
  2. Bดัชนี 0
  3. Cดัชนี 4
  4. Dดัชนี 3
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

segment tree มักใช้เพื่อ

  1. Aสร้างสแตก
  2. Bเก็บเส้นเชื่อมของกราฟ
  3. Cตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)
  4. Dเรียงสตริงตามตัวอักษรโดยเก็บแต่ละคำนำหน้าไว้ในโหนดต้นไม้แยกกัน
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 5
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
7171141265ABCDE

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 5|E| = 7
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ครึ่งของ merge sort ไม่ซ้อนกันและแต่ละส่วนถูกแก้ครั้งเดียว DP ช่วยเฉพาะเมื่อปัญหาย่อยเกิดซ้ำ เช่น ฟีโบนักชี

คำตอบ

D · ปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · X อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเป็นสมาชิกของ NP แสดงว่า X ไม่ยากกว่า NP ส่วนการลดรูปจากปัญหา NP-complete ที่ทราบแสดงว่า X ยากอย่างน้อยเท่าทั้ง NP

คำตอบ

D · X อยู่ใน NP และปัญหา NP-complete ที่ทราบลดรูปมาเป็น X ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ดัชนี 4

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

10 mod 7 = 3 และ 17 mod 7 = 3 ดัชนี 3 ถูกใช้แล้ว linear probing จึงลองช่องถัดไป คือดัชนี 4

คำตอบ

C · ดัชนี 4
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Segment tree เก็บค่ารวมของช่วง รองรับคำถามช่วงและการอัปเดตจุดในเวลา O(log n)

คำตอบ

C · ตอบคำถามช่วง (เช่น ผลรวมช่วง) และอัปเดตใน O(log n)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

จุดยอดคี่

B, C, D, E → 4
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 27

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BD (4): เลือก
BE (5): เลือก
DE (6): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AB (7): เลือก
BC (11): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 4 + 5 + 7 + 11 = 27

คำตอบ

W = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms