โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมละโมบ (greedy) คือ

  1. Aลองทุกคำตอบที่เป็นไปได้
  2. Bใช้การเรียกซ้ำเท่านั้น
  3. Cให้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดเสมอ
  4. Dเลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + n log n มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n²)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

นิพจน์ postfix 3 4 + 2 * มีค่าเท่าใด

  1. A24
  2. B11
  3. C14
  4. D10
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เวลาทำงานของการค้นหาในแนวกว้างบนกราฟที่มี V จุดยอดที่เก็บเป็นเมทริกซ์ประชิดคือเท่าใด

  1. AO(V²)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K4 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K4
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4232133141314128ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(E) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป E ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: E
d(E) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมละโมบเร็วและให้ผลเหมาะสมที่สุดในบางปัญหา (เช่น Dijkstra, การเข้ารหัส Huffman) แต่ไม่ใช่โดยทั่วไป (เช่น การทอนเหรียญในระบบเหรียญบางแบบ)

คำตอบ

D · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · Θ(n log² n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระดับที่ k ทำงานประมาณ n log(n / 2ᵏ) และผลรวมตลอด log n ระดับได้ Θ(n log² n) ซึ่งเป็นกรณีที่สองแบบขยายของทฤษฎีบทหลัก

คำตอบ

B · Θ(n log² n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · 14

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

push 3 และ 4, + ได้ 7; push 2, * ได้ 7 × 2 = 14

คำตอบ

C · 14
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(V²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จุดยอดทั้ง V สแกนแถวที่มี V ช่อง ได้ O(V²) ส่วนรายการประชิดทำให้ BFS เป็น O(V + E)

คำตอบ

A · O(V²)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

คำตอบ

H = 3
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(E) = 9

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 4, C: 2
C (2): E: 15, G: 14
B (4): D: 6
D (6): E: 9, F: 20
E (9)
G (14)
F (20)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → D → E
d(E) = 9

คำตอบ

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms