โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดการโปรแกรมพลวัตจึงไม่ช่วยเร่ง merge sort ได้จริง

  1. Aการโปรแกรมพลวัตใช้ได้กับปัญหากราฟเท่านั้น ไม่ใช่กับอาร์เรย์
  2. BMerge sort เป็น O(n) อยู่แล้ว
  3. CMerge sort ไม่มีโครงสร้างแบบเรียกซ้ำ
  4. Dปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาหนึ่งเป็น NP-complete ถ้ามัน

  1. Aแก้ไม่ได้เลย
  2. Bแก้ได้ในเวลาพหุนาม
  3. Cอยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
  4. Dอยู่นอก NP แต่ยากกว่าทุกปัญหา NP เช่น ปัญหาการหยุด
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

บัฟเฟอร์วงกลม (circular buffer หรือ ring buffer) มักใช้สร้าง

  1. Aฟังก์ชันแฮช
  2. Bการท่องกราฟ
  3. Cคิวขนาดคงที่
  4. Dต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในอัลกอริทึมต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดของ Kruskal โครงสร้าง union-find ใช้เพื่อ

  1. Aเรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนัก
  2. Bเลือกจุดยอดเริ่มต้น
  3. Cตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
  4. Dเก็บระยะทางปัจจุบันของแต่ละจุดยอดจากต้นทางระหว่างการค้นหา
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 6|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
11159915107132ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ครึ่งของ merge sort ไม่ซ้อนกันและแต่ละส่วนถูกแก้ครั้งเดียว DP ช่วยเฉพาะเมื่อปัญหาย่อยเกิดซ้ำ เช่น ฟีโบนักชี

คำตอบ

D · ปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหา NP-complete เป็นปัญหาที่ยากที่สุดใน NP ถ้ามีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับปัญหาหนึ่ง ก็จะมีสำหรับทั้ง NP

คำตอบ

C · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คิวขนาดคงที่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Ring buffer ใช้ดัชนีหัวและท้ายที่วนกลับ ให้ enqueue และ dequeue ใน O(1) ด้วยหน่วยความจำคงที่

คำตอบ

C · คิวขนาดคงที่
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Find บอกว่าปลายทั้งสองอยู่ในส่วนประกอบเดียวกันหรือไม่ ถ้าไม่ ก็เพิ่มเส้นเชื่อมและ union รวมส่วนประกอบ

คำตอบ

C · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 11, C: 15
2. B (11): D: 20, E: 13
3. E (13): F: 26
4. C (15)
5. D (20)
6. F (26)

รอบ 5

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms