โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของอัลกอริทึม Bellman–Ford บนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³ × E)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาหนึ่งเป็น NP-complete ถ้ามัน

  1. Aแก้ไม่ได้เลย
  2. Bอยู่นอก NP แต่ยากกว่าทุกปัญหา NP เช่น ปัญหาการหยุด
  3. Cแก้ได้ในเวลาพหุนาม
  4. Dอยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การค้นหาคำความยาว L ใน trie ที่มีตัวอักษรคงที่ใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(log n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  2. BO(L × n)
  3. CO(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
  4. DO(n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

  1. Aคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
  2. Bการหามัธยฐานใน O(1)
  3. Cการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค
  4. Dการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 34 × deg 54 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
7315201016ABCDE

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 5|E| = 7
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(V × E)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละรอบจาก V − 1 รอบผ่อนคลายเส้นเชื่อมทั้ง E เส้น ได้ O(VE) แลกกับการรองรับน้ำหนักเส้นเชื่อมติดลบ

คำตอบ

C · O(V × E)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหา NP-complete เป็นปัญหาที่ยากที่สุดใน NP ถ้ามีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับปัญหาหนึ่ง ก็จะมีสำหรับทั้ง NP

คำตอบ

D · อยู่ใน NP และทุกปัญหา NP ลดรูปมาเป็นมันได้ในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละอักขระเลือกลูกหนึ่งตัว การค้นหาจึงใช้ L ขั้นตอนไม่ว่า trie จะมีกี่คำ

คำตอบ

C · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Fenwick tree เก็บผลรวมบางส่วนของช่วงที่กำหนดโดยบิตต่ำของแต่ละดัชนี ทั้งผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตจุดจึงใช้ O(log n)

คำตอบ

A · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 18

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 40 = 2(L + 12) − 2
L = 18

คำตอบ

L = 18

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 19

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BC (1): เลือก
AC (3): เลือก
BD (5): เลือก
AB (7): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DE (10): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 3 + 5 + 10 = 19

คำตอบ

W = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms