โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n/2) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบเปรียบเทียบใด ๆ ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้วจึงต้องใช้ Ω(log n) การเปรียบเทียบในกรณีเลวร้ายที่สุด

  1. Aการค้นหาแบบทวิภาคเป็นอัลกอริทึมเดียวที่เป็นไปได้ และต้องใช้ log₂ n การเปรียบเทียบ
  2. Bทุกสมาชิกต้องถูกเปรียบเทียบอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
  3. Cต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
  4. Dการเปรียบเทียบแต่ละครั้งใช้เวลาแบบลอการิทึม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ข้อใดเป็นจริงเกี่ยวกับเมทริกซ์ประชิดของกราฟไม่มีทิศทาง

  1. Aเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเสมอ
  2. Bเส้นทแยงมุมหลักมีเลขหนึ่งเสมอ
  3. Cแต่ละแถวมี 1 เพียงตัวเดียวพอดี
  4. Dสมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดเซิร์ฟเวอร์จึงเลือกฟังก์ชันแฮชแบบสุ่มจากตระกูลสากล (universal family)

  1. Aเพื่อตัดความจำเป็นในการปรับขนาดตาราง
  2. Bเพื่อทำให้ผู้โจมตีเลือกคีย์จำนวนมากที่ชนกันทั้งหมดได้ยากมาก
  3. Cเพื่อรับประกันว่าไม่มีคีย์สองตัวชนกันเลย ไม่ว่าผู้โจมตีจะส่งคีย์ใดมา
  4. Dเพื่อทำให้ตารางแฮชเรียงลำดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5, 2 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
1073146412639ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ปัญหาลดลงครึ่งหนึ่งทุกขั้นโดยทำงานคงที่ต่อขั้น จึงมีประมาณ log₂ n ขั้นตอน

คำตอบ

C · O(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปรียบเทียบแต่ละครั้งลดเซตความเป็นไปได้ที่เหลือลงอย่างมากที่สุดครึ่งหนึ่ง การแยกแยะ n ตำแหน่งจึงต้องใช้อย่างน้อย log₂ n การเปรียบเทียบ

คำตอบ

C · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในกราฟไม่มีทิศทาง เส้นเชื่อม {u, v} หมายความว่าทั้ง M[u][v] และ M[v][u] ถูกตั้งค่า เมทริกซ์จึงเท่ากับทรานสโพสของมัน

คำตอบ

D · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · เพื่อทำให้ผู้โจมตีเลือกคีย์จำนวนมากที่ชนกันทั้งหมดได้ยากมาก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้วยการแฮชสากล จำนวนการชนกันคาดหมายน้อยสำหรับเซตคีย์ใด ๆ เพราะผู้โจมตีไม่ทราบว่าเลือกฟังก์ชันใด

คำตอบ

B · เพื่อทำให้ผู้โจมตีเลือกคีย์จำนวนมากที่ชนกันทั้งหมดได้ยากมาก
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 22

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

คำตอบ

L = 22

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): C: 10
2. C (10): B: 17, E: 24, G: 16
3. G (16): D: 19
4. B (17)
5. D (19): F: 25
6. E (24)
7. F (25)

รอบ 5

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms