โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การวิเคราะห์แบบกระจายต้นทุน (amortised analysis) วัดสิ่งใด

  1. Aต้นทุนของการดำเนินการเดียวที่แพงที่สุดในลำดับการดำเนินการ
  2. Bต้นทุนของอัลกอริทึมบนอินพุตที่ดีที่สุด
  3. Cต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด
  4. Dต้นทุนคาดหมายเหนืออินพุตสุ่ม
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

การเรียงลำดับทอพอโลยีทำได้เฉพาะกับ

  1. Aกราฟที่มีน้ำหนักติดลบ
  2. Bกราฟบริบูรณ์
  3. Cกราฟมีทิศทางแบบไม่มีวงจร (DAG)
  4. Dกราฟไม่มีทิศทาง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การค้นหาคำความยาว L ใน trie ที่มีตัวอักษรคงที่ใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(L × n)
  2. BO(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
  3. CO(log n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  4. DO(n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ตรวจว่าลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวมีวงจรหรือไม่โดยใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(1) ได้อย่างไร

  1. Aเก็บทุกโหนดที่เยี่ยมในเซตแฮช
  2. Bเรียงลิสต์และหาตัวซ้ำ
  3. Cเลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
  4. Dนับโหนดจนเกินกว่าฟิลด์ความยาวของลิสต์
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K4 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K4
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
13914463514ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 3 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การวิเคราะห์แบบกระจายต้นทุนกระจายต้นทุนของการดำเนินการแพงที่เกิดนาน ๆ ครั้งไปยังการดำเนินการถูกจำนวนมาก ให้ค่าเฉลี่ยที่รับประกันสำหรับลำดับใด ๆ

คำตอบ

C · ต้นทุนเฉลี่ยต่อหนึ่งการดำเนินการ บนลำดับการดำเนินการที่เลวร้ายที่สุด
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · กราฟมีทิศทางแบบไม่มีวงจร (DAG)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลำดับทอพอโลยีมีอยู่ก็ต่อเมื่อกราฟมีทิศทางไม่มีวงจร และหาได้ใน O(V + E) ด้วย DFS หรืออัลกอริทึมของ Kahn

คำตอบ

C · กราฟมีทิศทางแบบไม่มีวงจร (DAG)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละอักขระเลือกลูกหนึ่งตัว การค้นหาจึงใช้ L ขั้นตอนไม่ว่า trie จะมีกี่คำ

คำตอบ

B · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในอัลกอริทึมของ Floyd ถ้ามีวงจร ตัวชี้เร็วจะไล่ทันตัวช้าในที่สุด มิฉะนั้นตัวชี้เร็วถึง null

คำตอบ

C · เลื่อนตัวชี้หนึ่งทีละหนึ่งก้าวและอีกตัวสองก้าว แล้วตรวจว่าพบกันหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

คำตอบ

H = 3
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: B

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 13, C: 9
2. C (9): E: 15
3. B (13): D: 17
4. E (15)
5. D (17): F: 22
6. F (22)

รอบ 3

B

คำตอบ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms