โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของการคูณเมทริกซ์ n × n สองเมทริกซ์ด้วยลูปสามชั้นมาตรฐานคือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีผู้พบอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP-complete หนึ่งข้อ

  1. Aเฉพาะปัญหานั้นปัญหาเดียวที่ย้ายเข้า P
  2. Bปัญหาการหยุดจะตัดสินได้
  3. Cทุกปัญหาใน NP แก้ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้น P = NP
  4. Dอัลกอริทึมเวลาเอกซ์โพเนนเชียลทั้งหมดจะทำงานในเวลาเชิงเส้นทันที
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

แทรกคีย์ 50, 30, 70, 20, 40 ตามลำดับนี้ลงใน binary search tree ว่าง ลูกซ้ายของ 30 คืออะไร

  1. A20
  2. B50
  3. C40
  4. D70
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณต้องเก็บค่าที่น้อยที่สุด k ตัวจากสตรีมของตัวเลข n ตัวโดยใช้หน่วยความจำ O(k) แนวทางใดทำงานใน O(n log k)

  1. Aคิว FIFO ของ k ค่าล่าสุด
  2. Bmax-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
  3. Cอาร์เรย์เรียงลำดับของค่าทั้ง n
  4. Dmin-heap ที่เก็บค่าทั้ง n ตัว แล้วดึงค่าที่น้อยที่สุด k ตัวออกมาตอนท้าย
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K4 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K4
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
8512177116ABCDE

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด B ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 3

เริ่มต้น: Bk = 3
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี n² ช่องและแต่ละช่องต้องคูณ n ครั้ง ได้ n³ การดำเนินการ

คำตอบ

B · O(n³)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ทุกปัญหาใน NP แก้ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้น P = NP

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื่องจากทั้ง NP ลดรูปมาเป็นปัญหา NP-complete ใด ๆ ได้ในเวลาพหุนาม อัลกอริทึมเร็วสำหรับข้อหนึ่งจึงให้อัลกอริทึมเร็วสำหรับทั้งหมด

คำตอบ

C · ทุกปัญหาใน NP แก้ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้น P = NP
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · 20

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

20 น้อยกว่า 50 และน้อยกว่า 30 จึงเป็นลูกซ้ายของ 30 ส่วน 40 เป็นลูกขวา

คำตอบ

A · 20
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

รากของ max-heap คือค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เก็บไว้ ค่าใหม่ที่เล็กกว่าแทนที่มันใน O(log k) ฮีปจึงเก็บ k ค่าที่น้อยที่สุดจนถึงขณะนั้นเสมอ

คำตอบ

B · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

คำตอบ

H = 3
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม CE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. AB (8)
2. AC (5)
3. CE (7)
4. DE (1)

เส้นเชื่อมหมายเลข 3

CE

คำตอบ

เส้นเชื่อม CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms