โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ด้วยเหรียญ 1, 3 และ 4 และยอด 6 วิธีละโมบ "หยิบเหรียญใหญ่สุดก่อน" ใช้เหรียญกี่เหรียญเมื่อเทียบกับค่าที่เหมาะสมที่สุด

  1. Aละโมบใช้ 2 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
  2. Bละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
  3. Cละโมบใช้ 4 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 3
  4. Dละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 3
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เวลาทำงานของอัลกอริทึมของ Dijkstra ที่ใช้ฮีปไบนารีบนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ใน min-heap ทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์ (ดัชนีเริ่มที่ 0) ลูกของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่

  1. Ai/2 และ i/2 + 1
  2. Bi + 1 และ i + 2
  3. C2i + 1 และ 2i + 2
  4. D2i และ 2i + 1
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คีย์ 5, 3, 8, 1 ถูกแทรกตามลำดับนี้ลงใน min-heap ทวิภาคแบบอาร์เรย์ที่ว่าง อาร์เรย์สุดท้ายคืออะไร

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
51010142118132ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 4 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

วิธีละโมบหยิบ 4 + 1 + 1 = 3 เหรียญ แต่ 3 + 3 ใช้เพียง 2 วิธีละโมบจึงไม่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบเหรียญนี้ การโปรแกรมพลวัตทำได้

คำตอบ

B · ละโมบใช้ 3 เหรียญ ค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 2
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O((V + E) log V)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มี extract-min V ครั้งและ decrease-key ได้ถึง E ครั้ง แต่ละครั้ง O(log V) ฮีปฟีโบนักชีปรับให้ดีขึ้นเป็น O(E + V log V)

คำตอบ

C · O((V + E) log V)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · 2i + 1 และ 2i + 2

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับอาร์เรย์ที่เริ่มที่ 0 ลูกซ้ายอยู่ที่ 2i + 1 ลูกขวาที่ 2i + 2 และแม่ที่ ⌊(i − 1)/2⌋

คำตอบ

C · 2i + 1 และ 2i + 2
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · [1, 3, 8, 5]

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หลัง 5, 3, 8 อาร์เรย์เป็น [3, 5, 8] 1 ไปอยู่ดัชนี 3 สลับกับแม่ 5 แล้วสลับกับ 3 ได้ [1, 3, 8, 5]

คำตอบ

D · [1, 3, 8, 5]
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 5

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

คำตอบ

L = 5

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: C

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 5, C: 10
2. B (5): D: 19, E: 7
3. E (7): C: 9, D: 18, F: 20
4. C (9)
5. D (18)
6. F (20)

รอบ 4

C

คำตอบ

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms