โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การกล่าวว่าอัลกอริทึม O(n²) เป็น O(n³) ด้วย ถูกต้องหรือไม่

  1. Aไม่ถูก เพราะ n³ น้อยกว่า n² เมื่อ n มาก
  2. Bไม่ถูก เพราะ Big O ต้องระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอนของฟังก์ชันเสมอ
  3. Cถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
  4. Dถูกต้อง แต่เฉพาะเมื่อ n น้อยกว่า 100
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ทฤษฎีบท Cook–Levin พิสูจน์สิ่งใด

  1. AP ไม่เท่ากับ NP
  2. Bปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
  3. Cทุกปัญหา NP แก้ได้ในเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
  4. Dปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โปรแกรมที่ทำงานอยู่ใช้โครงสร้างข้อมูลใดติดตามการเรียกฟังก์ชันที่กำลังทำงานและตัวแปรท้องถิ่น

  1. Aตารางแฮชของฟังก์ชัน
  2. Bbinary search tree ของเฟรม
  3. Cคิวหน่วยความจำฮีป
  4. Dสแตกการเรียก (call stack)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ heapsort ถูกต้อง

  1. Aทำงานใน O(n) กับอินพุตใด ๆ
  2. Bต้องใช้ binary search tree เป็นที่เก็บเพิ่มเติม จึงใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
  3. Cเสถียรและต้องใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
  4. Dเรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 5
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
10134105621ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(C) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป C ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: C
d(C) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Big O เป็นขอบเขตบน ข้อความนี้จึงจริงแต่ไม่แน่น ส่วน Θ(n²) ระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอน

คำตอบ

C · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Cook และ Levin แสดงโดยอิสระต่อกันว่าทุกปัญหาใน NP ลดรูปมาเป็น SAT ในเวลาพหุนาม SAT จึงเป็นปัญหา NP-complete ข้อแรกที่รู้จัก

คำตอบ

B · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · สแตกการเรียก (call stack)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละการเรียก push เฟรมสแตกและแต่ละการคืนค่า pop ออก จึงเป็นเหตุที่การเรียกล่าสุดเสร็จก่อน

คำตอบ

D · สแตกการเรียก (call stack)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Heapsort สร้าง max-heap และดึงค่าสูงสุดออก n ครั้งภายในอาร์เรย์เดียวกัน การสลับระยะไกลอาจจัดเรียงคีย์ที่เท่ากันใหม่

คำตอบ

D · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(C) = 21

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 10
B (10): C: 23, D: 14, E: 11
E (11): C: 21, F: 13
F (13)
D (14)
C (21)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → E → C
d(C) = 21

คำตอบ

d(C) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms